Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $K$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат расстояния от точки $A$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
По условию $AM = 8$, $AN = 30$. Подставим значения:
$AK^2 = 8 \cdot 30 = 240$.
Отсюда $AK = \sqrt{240} = 4\sqrt{15}$.

2. Рассмотрим треугольник $AMK$. В нём известны две стороны $AM = 8$, $AK = 4\sqrt{15}$ и косинус угла между ними $\cos \angle MAK = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Найдем сторону $MK$ по теореме косинусов:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle MAK$;
$MK^2 = 8^2 + (4\sqrt{15})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{15} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$;
$MK^2 = 64 + 240 - 2 \cdot 8 \cdot 15 = 304 - 240 = 64$.
Следовательно, $MK = \sqrt{64} = 8$.

3. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 8$ и $MK = 8$, значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный. Углы при основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Тогда $\cos \angle MKA = \cos \angle MAK = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

4. Угол между касательной $AK$ и хордой $MK$ равен половине дуги $MK$, которую стягивает эта хорда. На эту же дугу опирается вписанный угол $MNK$. Значит, $\angle MNK = \angle MKA$.
Следовательно, $\cos \angle MNK = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

5. Зная косинус угла $MNK$, найдём его синус по основному тригонометрическому тождеству (так как угол треугольника, синус положительный):
$\sin \angle MNK = \sqrt{1 - \cos^2 \angle MNK} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.

6. Радиус $R$ окружности, проходящей через точки $M, N, K$, можно найти по теореме синусов для треугольника $MNK$:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle MNK}$;
$2R = \frac{8}{1/4} = 8 \cdot 4 = 32$;
$R = \frac{32}{2} = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ