Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $\angle A$ и $\angle D$ — углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$. По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. Рассмотрим треугольник $AED$. Сумма его углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, следовательно, третий угол $\angle E = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2) Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), треугольники $EBC$ и $EAD$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$. Пусть $EB = x$, тогда $EA = EB + AB = x + 20$. Из подобия следует: $\frac{EB}{EA} = \frac{BC}{AD} \Rightarrow \frac{x}{x + 20} = \frac{1}{3}$. Решим уравнение: $3x = x + 20$, откуда $2x = 20$, значит, $x = 10$. Таким образом, $EB = 10$, а $EA = 10 + 20 = 30$.

3) Обозначим искомую окружность через $\omega$. По условию $\omega$ проходит через точки $A$ и $B$, а значит, прямая $AB$ является секущей для этой окружности. Также окружность касается прямой $CD$ (или её продолжения $ED$) в некоторой точке $K$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки ($E$) к окружности: $EK^2 = EB \cdot EA$. Подставим значения: $EK^2 = 10 \cdot 30 = 300$, откуда $EK = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

4) Введём систему координат с началом в точке $E$, направив ось $Ox$ вдоль луча $EA$, а ось $Oy$ вдоль луча $ED$. Тогда точки имеют координаты: $E(0; 0)$, $B(10; 0)$, $A(30; 0)$. Точка касания $K$ лежит на луче $ED$, значит, её координаты $K(0; 10\sqrt{3})$.

5) Пусть центр окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$. Так как окружность проходит через точки $A(30; 0)$ и $B(10; 0)$, её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Абсцисса центра: $x_0 = \frac{10 + 30}{2} = 20$. Радиус $R$, проведённый в точку касания $K(0; 10\sqrt{3})$, перпендикулярен касательной $ED$ (оси $Oy$). Следовательно, радиус параллелен оси $Ox$, и ордината центра совпадает с ординатой точки касания: $y_0 = 10\sqrt{3}$.

6) Найдём радиус $R$ как расстояние от центра $O(20; 10\sqrt{3})$ до точки $K(0; 10\sqrt{3})$: $R = \sqrt{(20 - 0)^2 + (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3})^2} = \sqrt{20^2} = 20$.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ