Задание №25 — Геометрия

#48461Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 33 и 11,
а сумма углов при основании $A D$ равна $90 °$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D$ , если $A B = 20$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $\angle A$ и $\angle D$ — углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$ . По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$ . Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$ . Рассмотрим треугольник $AED$ . Сумма его углов при основании $AD$ равна $90^\circ$ , следовательно, третий угол $\angle E = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2) Так как основания трапеции параллельны ( $BC \parallel AD$ ), треугольники $EBC$ и $EAD$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$ . Пусть $EB = x$ , тогда $EA = EB + AB = x + 20$ . Из подобия следует: $\frac{EB}{EA} = \frac{BC}{AD} \Rightarrow \frac{x}{x + 20} = \frac{1}{3}$ . Решим уравнение: $3x = x + 20$ , откуда $2x = 20$ , значит, $x = 10$ . Таким образом, $EB = 10$ , а $EA = 10 + 20 = 30$ .

3) Обозначим искомую окружность через $\omega$ . По условию $\omega$ проходит через точки $A$ и $B$ , а значит, прямая $AB$ является секущей для этой окружности. Также окружность касается прямой $CD$ (или её продолжения $ED$ ) в некоторой точке $K$ . По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки ( $E$ ) к окружности: $EK^2 = EB \cdot EA$ . Подставим значения: $EK^2 = 10 \cdot 30 = 300$ , откуда $EK = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ .

4) Введём систему координат с началом в точке $E$ , направив ось $Ox$ вдоль луча $EA$ , а ось $Oy$ вдоль луча $ED$ . Тогда точки имеют координаты: $E(0; 0)$ , $B(10; 0)$ , $A(30; 0)$ . Точка касания $K$ лежит на луче $ED$ , значит, её координаты $K(0; 10\sqrt{3})$ .

5) Пусть центр окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$ . Так как окружность проходит через точки $A(30; 0)$ и $B(10; 0)$ , её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ . Абсцисса центра: $x_0 = \frac{10 + 30}{2} = 20$ . Радиус $R$ , проведённый в точку касания $K(0; 10\sqrt{3})$ , перпендикулярен касательной $ED$ (оси $Oy$ ). Следовательно, радиус параллелен оси $Ox$ , и ордината центра совпадает с ординатой точки касания: $y_0 = 10\sqrt{3}$ .

6) Найдём радиус $R$ как расстояние от центра $O(20; 10\sqrt{3})$ до точки $K(0; 10\sqrt{3})$ : $R = \sqrt{(20 - 0)^2 + (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3})^2} = \sqrt{20^2} = 20$ .

Ответ: 20

Источник: ФИПИ