Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 12$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 20$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 20 + 12 = 32$.

2) Общие касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $S$, лежащей на линии центров $O_1O_2$. Из подобия прямоугольных треугольников, образованных радиусами в точки касания и точкой $S$, следует, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$. Следовательно, $AB \parallel CD$, и искомое расстояние между ними — это длина отрезка $HK$, лежащего на линии центров, где $H$ — точка пересечения $O_1O_2$ с хордой $AB$, а $K$ — точка пересечения с хордой $CD$.

3) Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_1AC O_2$ (где $O_1A \perp AC$ и $O_2C \perp AC$). Опустим перпендикуляр $O_1P$ из центра $O_1$ на радиус $O_2C$. Тогда $O_1P = AC$. В прямоугольном треугольнике $O_1PO_2$:
$O_2P = O_2C - PC = R - r = 20 - 12 = 8$.
По теореме Пифагора: $O_1P = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2P^2} = \sqrt{32^2 - 8^2} = \sqrt{(32-8)(32+8)} = \sqrt{24 \cdot 40} = \sqrt{960} = 8\sqrt{15}$.

4) Пусть $\alpha$ — угол наклона касательной к линии центров, тогда $\cos \alpha = \frac{O_1P}{O_1O_2} = \frac{8\sqrt{15}}{32} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
В треугольнике $O_1AS$ (где $S$ — точка пересечения касательных) отрезок $O_1H$ является высотой, опущенной на гипотенузу в треугольнике $O_1AS$, но проще заметить, что в треугольнике $O_1AH$ угол $\angle AO_1H = \alpha$. Тогда:
$O_1H = r \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15}$.

5) Аналогично для второй окружности в треугольнике $O_2CK$ угол $\angle CO_2K = \alpha$. Тогда:
$O_2K = R \cdot \cos \alpha = 20 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 5\sqrt{15}$.

6) Искомое расстояние $HK$ равно сумме отрезков $HO_1$, $O_1O_2$ и $O_2K$, если смотреть на их взаимное расположение. Однако точки $H$ и $K$ лежат "внутри" отрезка $O_1O_2$ относительно центров в силу того, что хорды стягивают дуги, обращенные к точке касания окружностей.
Расстояние $HK = O_1O_2 - O_1H - O_2K$ не подходит по смыслу чертежа. На самом деле, $H$ лежит на расстоянии $O_1H$ от $O_1$ в сторону $O_2$, а $K$ на расстоянии $O_2K$ от $O_2$ в сторону $O_1$.
Тогда $HK = O_1O_2 - O_1H - O_2K = 32 - 3\sqrt{15} - 5\sqrt{15} = 32 - 8\sqrt{15}$.
Проверим: $8\sqrt{15} = \sqrt{960} \approx 30,98$. Так как $30,98 < 32$, значение положительно.

Ответ: $32 - 8\sqrt{15}$

Источник: ФИПИ