Задание №25 — Геометрия

#48462Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ $—$ на второй. При этом $A C$
и $B D$ $—$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 12$ , а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 20$ . Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 20 + 12 = 32$ .

2) Общие касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $S$ , лежащей на линии центров $O_1O_2$ . Из подобия прямоугольных треугольников, образованных радиусами в точки касания и точкой $S$ , следует, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$ . Следовательно, $AB \parallel CD$ , и искомое расстояние между ними — это длина отрезка $HK$ , лежащего на линии центров, где $H$ — точка пересечения $O_1O_2$ с хордой $AB$ , а $K$ — точка пересечения с хордой $CD$ .

3) Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_1AC O_2$ (где $O_1A \perp AC$ и $O_2C \perp AC$ ). Опустим перпендикуляр $O_1P$ из центра $O_1$ на радиус $O_2C$ . Тогда $O_1P = AC$ . В прямоугольном треугольнике $O_1PO_2$ :
$O_2P = O_2C - PC = R - r = 20 - 12 = 8$ .
По теореме Пифагора: $O_1P = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2P^2} = \sqrt{32^2 - 8^2} = \sqrt{(32-8)(32+8)} = \sqrt{24 \cdot 40} = \sqrt{960} = 8\sqrt{15}$ .

4) Пусть $\alpha$ — угол наклона касательной к линии центров, тогда $\cos \alpha = \frac{O_1P}{O_1O_2} = \frac{8\sqrt{15}}{32} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
В треугольнике $O_1AS$ (где $S$ — точка пересечения касательных) отрезок $O_1H$ является высотой, опущенной на гипотенузу в треугольнике $O_1AS$ , но проще заметить, что в треугольнике $O_1AH$ угол $\angle AO_1H = \alpha$ . Тогда:
$O_1H = r \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15}$ .

5) Аналогично для второй окружности в треугольнике $O_2CK$ угол $\angle CO_2K = \alpha$ . Тогда:
$O_2K = R \cdot \cos \alpha = 20 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 5\sqrt{15}$ .

6) Искомое расстояние $HK$ равно сумме отрезков $HO_1$ , $O_1O_2$ и $O_2K$ , если смотреть на их взаимное расположение. Однако точки $H$ и $K$ лежат "внутри" отрезка $O_1O_2$ относительно центров в силу того, что хорды стягивают дуги, обращенные к точке касания окружностей.
Расстояние $HK = O_1O_2 - O_1H - O_2K$ не подходит по смыслу чертежа. На самом деле, $H$ лежит на расстоянии $O_1H$ от $O_1$ в сторону $O_2$ , а $K$ на расстоянии $O_2K$ от $O_2$ в сторону $O_1$ .
Тогда $HK = O_1O_2 - O_1H - O_2K = 32 - 3\sqrt{15} - 5\sqrt{15} = 32 - 8\sqrt{15}$ .
Проверим: $8\sqrt{15} = \sqrt{960} \approx 30,98$ . Так как $30,98 < 32$ , значение положительно.

Ответ: $32 - 8\sqrt{15}$

Источник: ФИПИ