Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -2$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x + 1$.
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 1)^2$.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-1; 0)$.
Найдём значение функции на границе участка: при $x = -2$, $y = (-2 + 1)^2 = 1$. Точка $(-2; 1)$ закрашена, так как неравенство нестрогое.

2) На промежутке $x < -2$ функция имеет вид $y = -\frac{2}{x}$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$).
Найдём значение, к которому стремится функция на границе: при $x \to -2$, $y \to -\frac{2}{-2} = 1$.
Точка $(-2; 1)$ является общей для обеих частей графика, значит, график функции непрерывен.

3) Исследуем количество пересечений графика с горизонтальной прямой $y = m$:
- При $m < 0$ прямая проходит ниже оси $Ox$. В этой области график функции отсутствует, общих точек 0.
- При $m = 0$ прямая совпадает с осью $Ox$. Она касается вершины параболы в точке $(-1; 0)$. Общая точка 1.
- При $0 < m < 1$ прямая пересекает параболу в двух точках (слева и справа от вершины). Также она пересекает ветвь гиперболы, так как при $x < -2$ значения гиперболы $y = -\frac{2}{x}$ лежат в интервале $(0; 1)$. Итого общих точек 3.
- При $m = 1$ прямая проходит через точку стыка $(-2; 1)$. Она пересекает правую ветвь параболы и касается графика в точке стыка. Общих точек 2.
- При $m > 1$ прямая пересекает только правую ветвь параболы, так как гипербола на данном участке не поднимается выше 1, а левая ветвь параболы ограничена точкой $(-2; 1)$. Общая точка 1.

Таким образом, одна общая точка наблюдается при $m = 0$ и при $m > 1$. Две общие точки наблюдаются при $m = 1$.

Объединяя условия для одной или двух точек, получаем: $m = 0$ или $m \geq 1$.

Ответ: $m = 0, m \geq 1$

Источник: ФИПИ