Задание №22 — Функции

#48465Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}1,5 x - 1 \\ - 1,5 x + 3 \\ 3 x - 10,5\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при } \\ \text{ при }\end{matrix} & \begin{matrix}x < 2, \\ 2 \leq x \leq 3, \\ x > 3.\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из трёх лучей и отрезков. Построим график каждой части на соответствующем промежутке.

1) Рассмотрим первую часть: $y = 1,5x - 1$ при $x < 2$ .
Это прямая. Для построения возьмём две точки:
Если $x = 0$ , то $y = 1,5 \cdot 0 - 1 = -1$ . Точка $(0; -1)$ .
Если $x = 2$ , то $y = 1,5 \cdot 2 - 1 = 2$ . Точка $(2; 2)$ будет "граничной" (не включена, но график подходит к ней вплотную).

2) Рассмотрим вторую часть: $y = -1,5x + 3$ при $2 \le x \le 3$ .
Это отрезок прямой. Найдём значения на концах отрезка:
Если $x = 2$ , то $y = -1,5 \cdot 2 + 3 = 0$ . Точка $(2; 0)$ .
Если $x = 3$ , то $y = -1,5 \cdot 3 + 3 = -1,5$ . Точка $(3; -1,5)$ .

3) Рассмотрим третью часть: $y = 3x - 10,5$ при $x > 3$ .
Это луч. Найдём граничную точку и ещё одну для направления:
Если $x = 3$ , то $y = 3 \cdot 3 - 10,5 = -1,5$ . Точка $(3; -1,5)$ совпадает с концом предыдущего отрезка.
Если $x = 4$ , то $y = 3 \cdot 4 - 10,5 = 1,5$ . Точка $(4; 1,5)$ .

Построив эти части, мы увидим ломаную линию. В точке $x = 2$ происходит разрыв: график "прыгает" из значения $y = 2$ в значение $y = 0$ . В точке $x = 3$ график непрерывен.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно две общие точки.
Проанализируем движение прямой $y = m$ снизу вверх:
— При $m < -1,5$ прямая пересекает только первый луч (1 точка).
— При $m = -1,5$ прямая проходит через "излом" $(3; -1,5)$ и пересекает первый луч. Итого 2 точки.
— При $-1,5 < m < 0$ прямая пересекает все три части графика (3 точки).
— При $m = 0$ прямая проходит через точку $(2; 0)$ , пересекает первый луч и третий луч. Итого 3 точки.
— При $0 < m < 2$ прямая пересекает первый луч и третий луч. Итого 2 точки.
— При $m = 2$ прямая проходит через "пустую" точку $(2; 2)$ первого луча (её там нет) и пересекает только третий луч. Итого 1 точка.
— При $m > 2$ прямая пересекает только третий луч (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки наблюдаются при $m = -1,5$ и в интервале $0 < m < 2$ .

Ответ: -1,5; (0; 2)

Источник: ФИПИ