Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC$ и $AD$. По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 50^{\circ}$ и $\angle D = 40^{\circ}$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это средняя линия трапеции (соединяет середины боковых сторон) и отрезок, соединяющий середины оснований.

2) Обозначим середину $BC$ как $M$, а середину $AD$ как $N$. Отрезок $MN$ соединяет середины оснований. Средняя линия трапеции (пусть это $KP$) по свойству равна полусумме оснований: $KP = \frac{AD + BC}{2}$. Из условия задачи один из этих отрезков равен 15, а другой 13. Заметим, что средняя линия всегда больше или равна отрезку, соединяющему середины оснований в такой конфигурации, но для точности проведем дополнительные построения.

3) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle S = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$. Значит, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

4) Точки $M$ и $N$ — середины оснований. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. В треугольнике $ASD$ отрезок $SN$ — медиана к гипотенузе $AD$, значит, $SN = \frac{1}{2}AD$. В треугольнике $BSC$ (который также прямоугольный, так как $BC \parallel AD$) отрезок $SM$ — медиана к гипотенузе $BC$, значит, $SM = \frac{1}{2}BC$.

5) Отрезок $MN$ лежит на прямой, содержащей медианы $SN$ и $SM$. Тогда $MN = SN - SM = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$. Таким образом, у нас есть два уравнения для двух отрезков:
Средняя линия: $\frac{AD + BC}{2} = 15$
Отрезок между серединами оснований: $\frac{AD - BC}{2} = 13$
(Мы взяли 15 для суммы, так как сумма всегда больше разности положительных величин).

6) Решим систему уравнений:
$AD + BC = 30$
$AD - BC = 26$
Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 56$, откуда $AD = 28$.
Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 4$, откуда $BC = 2$.

Ответ: 2; 28

Источник: ФИПИ