Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр меньшей окружности радиуса $r = 4$, а $O_2$ — центр большей окружности радиуса $R = 60$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 60 + 4 = 64$.

2) Рассмотрим общую касательную $AC$. Точки $A$ и $C$ — точки касания, поэтому радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$. Следовательно, $O_1A \parallel O_2C$, и фигура $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3) Проведём из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1H$ к радиусу $O_2C$. Тогда $O_1ACH$ — прямоугольник, $CH = O_1A = 4$, а $O_2H = O_2C - CH = 60 - 4 = 56$. Из прямоугольного треугольника $O_1HO_2$ по теореме Пифагора найдём $O_1H$, которое равно длине отрезка касательной $AC$:
$AC = O_1H = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2H^2} = \sqrt{64^2 - 56^2} = \sqrt{(64-56)(64+56)} = \sqrt{8 \cdot 120} = \sqrt{960} = 8\sqrt{15}$.

4) Общие касательные $AC$ и $BD$ симметричны относительно линии центров $O_1O_2$. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$, так как хорды, соединяющие точки касания, симметричны. Пусть $O_1O_2$ пересекает $AB$ в точке $M$, а $CD$ в точке $N$. Искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно длине отрезка $MN$.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1AC$. В нём $O_1A = 4$, $O_2C = 60$. Линия центров является биссектрисой угла между касательными. Пусть $\alpha$ — угол наклона касательной к линии центров (угол между $AC$ и $O_1O_2$). Из треугольника $O_1HO_2$:
$\cos \alpha = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{56}{64} = \frac{7}{8}$.
Тогда $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{7}{8})^2} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

6) Отрезок $AM$ — это высота в треугольнике $O_1AP$, где $P$ — точка пересечения касательных. Но проще заметить, что угол между радиусом $O_1A$ и хордой $AB$ связан с углом наклона касательной. Отрезок $O_1M$ является проекцией радиуса $O_1A$ на линию центров. В прямоугольном треугольнике $O_1MA$ угол $\angle MAO_1 = \alpha$, так как стороны этого угла перпендикулярны сторонам угла $\alpha$ между касательной и линией центров. Тогда:
$O_1M = O_1A \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Аналогично для второй окружности: $O_2N = O_2C \cdot \sin \alpha = 60 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{15\sqrt{15}}{2}$.

7) Расстояние $MN$ можно найти как $MN = O_1O_2 - O_1M - O_2N$ (так как точки $M$ и $N$ лежат между центрами):
$MN = 64 - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{15\sqrt{15}}{2} = 64 - \frac{16\sqrt{15}}{2} = 64 - 8\sqrt{15}$.

Ответ: $64 - 8\sqrt{15}$

Источник: ФИПИ