Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$.
Подставим известные значения сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{34}{22} = \frac{17}{11}$.
Пусть $AK = 17x$, тогда $DK = 11x$. Пусть $BK = 17y$, тогда $CK = 11y$.

3) Рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $BKC$:
$BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$.
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем:
$BC^2 = (17y)^2 + (11y)^2 - 2 \cdot 17y \cdot 11y \cdot (-0,5) = 289y^2 + 121y^2 + 187y^2 = 597y^2$.

4) Рассмотрим треугольник $AKD$. Угол $AKD$ также смежный с углом $AKB$, значит $\angle AKD = 120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $AKD$:
$AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ)$.
$AD^2 = (17x)^2 + (11x)^2 - 2 \cdot 17x \cdot 11x \cdot (-0,5) = 289x^2 + 121x^2 + 187x^2 = 597x^2$.

5) Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AKB$, где $\angle AKB = 60^\circ$:
$AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2 \cdot AK \cdot BK \cdot \cos(60^\circ)$.
$34^2 = (17x)^2 + (17y)^2 - 2 \cdot 17x \cdot 17y \cdot 0,5$.
$1156 = 289x^2 + 289y^2 - 289xy$.
Разделим всё уравнение на $289$:
$4 = x^2 + y^2 - xy$.

6) Аналогично для треугольника $DKC$, где $\angle DKC = 60^\circ$ (вертикальный с $AKB$):
$CD^2 = DK^2 + CK^2 - 2 \cdot DK \cdot CK \cdot \cos(60^\circ)$.
$22^2 = (11x)^2 + (11y)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 11y \cdot 0,5$.
$484 = 121x^2 + 121y^2 - 121xy$.
Разделим на $121$:
$4 = x^2 + y^2 - xy$. (Это подтверждает правильность наших рассуждений).

7) Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника $ABC$. Радиус $R$ описанной окружности четырёхугольника совпадает с радиусом окружности, описанной около $\triangle ABC$.
$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$.
Из треугольника $AKB$ по теореме синусов: $\frac{BK}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(60^\circ)}$.
Отсюда $\sin(\angle BAC) = \frac{BK \cdot \sin(60^\circ)}{AB} = \frac{17y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{34} = \frac{y\sqrt{3}}{4}$.
Тогда $2R = \frac{\sqrt{597y^2}}{\frac{y\sqrt{3}}{4}} = \frac{y\sqrt{597} \cdot 4}{y\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{597}{3}} = 4\sqrt{199}$.
$R = 2\sqrt{199}$.

Ответ: $2\sqrt{199}$

Источник: ФИПИ