Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 44$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 77$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 77 + 44 = 121$.

2) Рассмотрим общие касательные $AC$ и $BD$. По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $S$, которая является центром гомотетии, переводящей малую окружность в большую. Точки $A, B, C, D$ являются точками касания. В силу симметрии фигуры относительно линии центров $O_1O_2$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной, а прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$.

3) Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ — это длина отрезка $MN$, лежащего на линии центров, где $M$ — точка пересечения $O_1O_2$ с хордой $AB$, а $N$ — точка пересечения $O_1O_2$ с хордой $CD$.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник $SO_1A$, где $O_1A \perp SA$. Из подобия треугольников $SO_1A$ и $SO_2C$ следует: $\frac{SO_1}{SO_2} = \frac{r}{R} = \frac{44}{77} = \frac{4}{7}$. Пусть $SO_1 = 4x$, тогда $SO_2 = 7x$. Так как $SO_2 - SO_1 = O_1O_2 = 121$, получаем: $7x - 4x = 121 \Rightarrow 3x = 121 \Rightarrow x = \frac{121}{3}$. Тогда $SO_1 = 4 \cdot \frac{121}{3} = \frac{484}{3}$.

5) В прямоугольном треугольнике $SO_1A$ отрезок $O_1M$ является высотой, проведённой к гипотенузе $SO_1$ в треугольнике $O_1MA$ (где $A$ — вершина прямого угла в треугольнике $SO_1A$). Однако проще найти $O_1M$ из подобия треугольников $O_1MA$ и $O_1AS$: $\frac{O_1M}{O_1A} = \frac{O_1A}{SO_1} \Rightarrow O_1M = \frac{O_1A^2}{SO_1} = \frac{r^2}{SO_1} = \frac{44^2}{484/3} = \frac{1936 \cdot 3}{484} = 4 \cdot 3 = 12$.

6) Аналогично для второй окружности: $SO_2 = SO_1 + O_1O_2 = \frac{484}{3} + 121 = \frac{484 + 363}{3} = \frac{847}{3}$. В прямоугольном треугольнике $SO_2C$ отрезок $O_2N$ находится из подобия: $\frac{O_2N}{O_2C} = \frac{O_2C}{SO_2} \Rightarrow O_2N = \frac{O_2C^2}{SO_2} = \frac{R^2}{SO_2} = \frac{77^2}{847/3} = \frac{5929 \cdot 3}{847} = 7 \cdot 3 = 21$.

7) Искомое расстояние $MN$ равно сумме отрезков $MO_1$, $O_1O_2$ и $O_2N$, но нужно учесть их расположение. Точка $M$ лежит между $S$ и $O_1$, а точка $N$ лежит между $S$ и $O_2$. Расстояние $MN = SN - SM$. $SM = SO_1 - O_1M = \frac{484}{3} - 12 = \frac{484 - 36}{3} = \frac{448}{3}$. $SN = SO_2 - O_2N = \frac{847}{3} - 21 = \frac{847 - 63}{3} = \frac{784}{3}$. $MN = \frac{784}{3} - \frac{448}{3} = \frac{336}{3} = 112$.

Ответ: 112

Источник: ФИПИ