Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $K$. По условию задачи точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$, причём $AM = 18$, $AN = 22$. Точки $A, M, N$ лежат на одной прямой, следовательно, отрезок $AN$ является секущей для данной окружности.

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: квадрат расстояния от точки вне окружности до точки касания равен произведению длин всей секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения: $AK^2 = 18 \cdot 22 = 396$.
Отсюда $AK = \sqrt{396} = \sqrt{36 \cdot 11} = 6\sqrt{11}$.

3. Рассмотрим треугольник $AKM$. По теореме косинусов найдём сторону $KM$:
$KM^2 = AK^2 + AM^2 - 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos \angle BAC$
$KM^2 = 396 + 18^2 - 2 \cdot 6\sqrt{11} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$
$KM^2 = 396 + 324 - 2 \cdot 18 \cdot 11$
$KM^2 = 720 - 396 = 324$
Следовательно, $KM = \sqrt{324} = 18$.

4. Заметим, что в треугольнике $AKM$ стороны $AM = 18$ и $KM = 18$. Значит, треугольник $AKM$ — равнобедренный, и углы при его основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Обозначим $\angle BAC = \alpha$. Тогда $\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}$.
Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество:
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{11}{36}} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$.

5. Угол между касательной $AK$ и хордой $KN$ равен половине дуги $KN$, которую он стягивает. На этот же угол опирается вписанный угол $KMN$. Таким образом, $\angle AKK = \angle KMN$ (точнее, $\angle KNM$, но воспользуемся теоремой синусов для треугольника $MKN$).
В треугольнике $AKN$ по теореме косинусов найдём $KN$:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos \alpha$
$KN^2 = 396 + 22^2 - 2 \cdot 6\sqrt{11} \cdot 22 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6}$
$KN^2 = 396 + 484 - 2 \cdot 22 \cdot 11 = 880 - 484 = 396$.
Значит, $KN = \sqrt{396} = 6\sqrt{11}$.

6. Теперь найдём радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $MKN$. По теореме синусов:
$2R = \frac{KN}{\sin \angle KMN}$.
Угол $\angle KMN$ является внешним углом равнобедренного треугольника $AKM$, поэтому $\angle KMN = \angle MAK + \angle MKA = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
Тогда $\sin \angle KMN = \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{5\sqrt{11}}{18}$.

7. Вычисляем радиус:
$R = \frac{KN}{2 \sin(2\alpha)} = \frac{6\sqrt{11}}{2 \cdot \frac{5\sqrt{11}}{18}} = \frac{6\sqrt{11} \cdot 18}{10\sqrt{11}} = \frac{6 \cdot 18}{10} = \frac{108}{10} = 10,8$.

Ответ: 10,8

Источник: ФИПИ