Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Углы при одном из оснований трапеции равны $39 °$ и $51 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Обозначим углы при основании $AD$ : $\angle A = 39^\circ$ и $\angle D = 51^\circ$ . Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Сумма углов при основании $AD$ равна $39^\circ + 51^\circ = 90^\circ$ . Это важное условие. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$ . Рассмотрим треугольник $ASD$ . Сумма его углов равна $180^\circ$ , значит, $\angle S = 180^\circ - (39^\circ + 51^\circ) = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3. Отрезок, соединяющий середины оснований, лежит на медиане прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Пусть $M$ — середина $BC$ , а $N$ — середина $AD$ . Точки $S, M, N$ лежат на одной прямой, так как медиана треугольника $ASD$ проходит через середину любого отрезка, параллельного основанию. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Значит, $SN = \frac{1}{2}AD$ и $SM = \frac{1}{2}BC$ . Тогда отрезок $MN = SN - SM = \frac{AD - BC}{2}$ .

4. Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$ . По условию нам даны два отрезка: 19 и 17. Средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в данной конфигурации), так как полусумма оснований больше их полуразности. Следовательно:
$\frac{AD + BC}{2} = 19$
$\frac{AD - BC}{2} = 17$

5. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 38$
$AD - BC = 34$

6. Сложим эти уравнения:
$2 \cdot AD = 72 \Rightarrow AD = 36$ .
Вычтем из первого уравнения второе:
$2 \cdot BC = 4 \Rightarrow BC = 2$ .

Ответ: 36; 2

Источник: ФИПИ