Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим углы при основании $AD$: $\angle A = 39^\circ$ и $\angle D = 51^\circ$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований.

2. Сумма углов при основании $AD$ равна $39^\circ + 51^\circ = 90^\circ$. Это важное условие. Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $S$. Рассмотрим треугольник $ASD$. Сумма его углов равна $180^\circ$, значит, $\angle S = 180^\circ - (39^\circ + 51^\circ) = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ASD$ — прямоугольный.

3. Отрезок, соединяющий середины оснований, лежит на медиане прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла. Пусть $M$ — середина $BC$, а $N$ — середина $AD$. Точки $S, M, N$ лежат на одной прямой, так как медиана треугольника $ASD$ проходит через середину любого отрезка, параллельного основанию. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Значит, $SN = \frac{1}{2}AD$ и $SM = \frac{1}{2}BC$. Тогда отрезок $MN = SN - SM = \frac{AD - BC}{2}$.

4. Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) вычисляется по формуле $L = \frac{AD + BC}{2}$. По условию нам даны два отрезка: 19 и 17. Средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в данной конфигурации), так как полусумма оснований больше их полуразности. Следовательно:
$\frac{AD + BC}{2} = 19$
$\frac{AD - BC}{2} = 17$

5. Составим систему уравнений:
$AD + BC = 38$
$AD - BC = 34$

6. Сложим эти уравнения:
$2 \cdot AD = 72 \Rightarrow AD = 36$.
Вычтем из первого уравнения второе:
$2 \cdot BC = 4 \Rightarrow BC = 2$.

Ответ: 36; 2

Источник: ФИПИ