Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Это значит, что на графике точка с абсциссой $x = 1$ будет «выколотой».

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в числителе есть множитель $(x - 1)$, а в знаменателе — $(1 - x)$. Вынесем минус за скобки в знаменателе:
$y = \frac{(x^2 + 2,25)(x - 1)}{-(x - 1)}$.
При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = -(x^2 + 2,25)$
$y = -x^2 - 2,25$.
Таким образом, графиком функции является парабола $y = -x^2 - 2,25$ с «выколотой» точкой.

3. Построение графика.
График $y = -x^2 - 2,25$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $(0; -2,25)$.
Найдём координаты «выколотой» точки: подставим $x = 1$ в уравнение параболы:
$y(1) = -1^2 - 2,25 = -1 - 2,25 = -3,25$.
Точка $A(1; -3,25)$ не принадлежит графику.

4. Анализ количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $A(1; -3,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (точка $A$) исключена из графика функции. Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
$-3,25 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -3,25$.

Случай Б: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $kx = -x^2 - 2,25$ должно иметь ровно одно решение. Приведём его к виду квадратного уравнения:
$x^2 + kx + 2,25 = 0$.
Уравнение имеет один корень, когда дискриминант $D$ равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,25 = k^2 - 9$.
$k^2 - 9 = 0 \Rightarrow k^2 = 9 \Rightarrow k = 3$ или $k = -3$.
Проверим, не совпадают ли точки касания с «выколотой» точкой. При $k = -3$ уравнение примет вид $x^2 - 3x + 2,25 = 0 \Rightarrow (x - 1,5)^2 = 0 \Rightarrow x = 1,5$ (не равно 1). При $k = 3$ уравнение примет вид $x^2 + 3x + 2,25 = 0 \Rightarrow (x + 1,5)^2 = 0 \Rightarrow x = -1,5$ (не равно 1). Оба значения подходят.

Ответ: -3,25; -3; 3.

Источник: ФИПИ