Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) Поскольку $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов, то $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$. Сумма этих углов в треугольнике $ABK$ равна: $\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Значит, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH_1$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KH_2$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KH_3$ — перпендикуляр к стороне $AD$. По условию задачи $KH_1 = 3$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, а любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$, то есть $KH_2 = KH_1 = 3$.

5) Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому она равноудалена от сторон $AB$ и $AD$. Значит, $KH_3 = KH_1 = 3$.

6) Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $BC$, складывается из отрезков $KH_2$ и $KH_3$, так как точки $H_2$, $K$ и $H_3$ лежат на одной прямой (перпендикулярной параллельным прямым $BC$ и $AD$). Таким образом, $h = KH_2 + KH_3 = 3 + 3 = 6$.

7) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. В нашем случае сторона $BC = 11$, а высота $h = 6$.
$S = 11 \cdot 6 = 66$.

Ответ: 66

Источник: ФИПИ