Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим высоту $AD$ треугольника $ABC$. По условию точка $M$ лежит на этой высоте, причём $AD = 80$ и $MD = 64$. Найдём длину отрезка $AM$:
$AM = AD - MD = 80 - 64 = 16$.

2. Пусть полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BPC$ и $\angle BKC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$). Следовательно, $CP$ и $BK$ — высоты треугольника $ABC$.

3. Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ лежит на высоте $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём отрезок $HK$ (где $K$ — точка на $AC$) не является удобным для расчёта напрямую, поэтому воспользуемся свойством высот: произведение отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех высот. Однако проще рассмотреть подобие треугольников или свойство секущих.

4. Продолжим высоту $AD$ до пересечения с окружностью в точке $M'$. Так как $BC$ — диаметр, перпендикулярный хорде $MM'$ (высота $AD \perp BC$), то точка $D$ является серединой хорды $MM'$. Тогда $M'D = MD = 64$.

5. По свойству секущих, проведённых из точки $A$ к окружности: произведение всей секущей на её внешнюю часть постоянно. Рассмотрим секущую $AM'$. Точки $M$ и $M'$ лежат на окружности.
$AM = 16$
$AM' = AD + DM' = 80 + 64 = 144$.
Пусть $K$ — точка пересечения окружности со стороной $AC$. Тогда $AK \cdot AC = AM \cdot AM' = 16 \cdot 144$.

6. Рассмотрим треугольники $AHK$ и $ACD$. Они прямоугольные ($\angle AKH = 90^\circ$, так как $BK \perp AC$, и $\angle ADC = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $A$. Значит, $\triangle AHK \sim \triangle ACD$ по двум углам.
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AH}{AC} = \frac{AK}{AD}$.
Отсюда выразим $AH$:
$AH = \frac{AK \cdot AC}{AD}$.

7. Подставим известное значение произведения $AK \cdot AC$ из шага 5 и значение $AD = 80$:
$AH = \frac{16 \cdot 144}{80}$.
Сократим дробь на $16$:
$AH = \frac{144}{5} = 28,8$.

Ответ: 28,8

Источник: ФИПИ