Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 80^{\circ}$ и $\angle D = 10^{\circ}$. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований.

2) Обозначим середину $BC$ как $M$, а середину $AD$ как $N$. Отрезок $MN$ соединяет середины оснований. Средняя линия трапеции (соединяющая середины боковых сторон) вычисляется по формуле $\frac{AD + BC}{2}$. Известно, что средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в невырожденной трапеции). Следовательно, средняя линия равна $20$, а $MN = 17$.

3) Из формулы средней линии имеем: $\frac{AD + BC}{2} = 20$, откуда $AD + BC = 40$.

4) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольник $AKD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle K = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 10^{\circ}) = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

5) Так как $BC \parallel AD$, треугольник $BKC$ также является прямоугольным ($\angle K = 90^{\circ}$) и подобен треугольнику $AKD$. Точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой, так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, лежит на биссектрисе угла (в данном случае это линия, проходящая через середины параллельных оснований).

6) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Для $\triangle BKC$: $KM = \frac{BC}{2}$. Для $\triangle AKD$: $KN = \frac{AD}{2}$.

7) Заметим, что $MN = KN - KM$. Подставим выражения через основания: $17 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$, что дает $AD - BC = 34$.

8) Составим систему уравнений: $\begin{cases} AD + BC = 40 \\ AD - BC = 34 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 74$, откуда $AD = 37$. Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6$, откуда $BC = 3$.

Ответ: 3; 37

Источник: ФИПИ