Задание №25 — Геометрия

#48478Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 14$ , $A C = 98$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $\angle BAC = \alpha$ . Проведём касательную $AK$ к описанной окружности в точке $A$ . По свойству угла между касательной и хордой, угол между касательной $AK$ и хордой $AB$ равен половине дуги $AB$ , то есть вписанному углу $ACB$ . Обозначим $\angle ACB = \gamma$ . Тогда $\angle KAB = \gamma$ .

2) Радиус $AO$ перпендикулярен касательной $AK$ по свойству касательной. По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$ . Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $AK \parallel BD$ .

3) Так как $AK \parallel BD$ , то накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны: $\angle ABD = \angle KAB = \gamma$ .

4) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ общий;
— $\angle ABD = \angle ACB = \gamma$ (как было доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ).

5) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$ .
Отсюда выразим отрезок $AD$ :
$AD = \frac{AB^2}{AC}$ .

6) Подставим известные значения сторон $AB = 14$ и $AC = 98$ :
$AD = \frac{14^2}{98} = \frac{196}{98} = 2$ .

7) Отрезок $CD$ является частью стороны $AC$ . Найдем его длину как разность:
$CD = AC - AD = 98 - 2 = 96$ .

Ответ: 96

Источник: ФИПИ