Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат расстояния от точки $A$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
По условию $AM = 12$, $AN = 21$. Подставим значения:
$AK^2 = 12 \cdot 21 = 252$.
Отсюда $AK = \sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$.

2) Рассмотрим треугольник $AMK$. По теореме косинусов найдём сторону $MK$:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle BAC$.
Подставим известные величины:
$MK^2 = 12^2 + (6\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$
$MK^2 = 144 + 252 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot \frac{7}{4}$
$MK^2 = 396 - 252 = 144$.
Следовательно, $MK = \sqrt{144} = 12$.

3) Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 12$ и $MK = 12$, значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный. Углы при основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Найдём синус угла $A$ через основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.
Так как угол $A$ — угол треугольника, его синус положителен: $\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$.

4) Угол между касательной $AK$ и хордой $MK$ равен половине дуги $MK$, которую стягивает эта хорда. В то же время вписанный угол $MNK$ также опирается на эту дугу и равен её половине. Значит:
$\angle MNK = \angle MKA$.
Так как $\angle MKA = \angle MAK$ (из равнобедренного треугольника), то $\angle MNK = \angle MAK = \angle BAC$.
Следовательно, $\sin \angle MNK = \sin \angle BAC = \frac{3}{4}$.

5) Рассмотрим треугольник $MNK$. Он вписан в искомую окружность. По теореме синусов:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle MNK}$.
Подставим значения $MK = 12$ и $\sin \angle MNK = \frac{3}{4}$:
$2R = \frac{12}{3/4} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 16$.
Отсюда радиус $R = 16 : 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ