Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,75x$ в числителе:
$y = \frac{0,75x(x + 3) \cdot |x|}{x + 3}$.
При условии $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:
$y = 0,75x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
б) Если $x < 0$ (и $x \neq -3$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,75x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Нахождение "выколотой" точки.
Так как $x \neq -3$, на графике будет пустая точка. Подставим $x = -3$ в упрощенное выражение для отрицательных $x$:
$y(-3) = -0,75 \cdot (-3)^2 = -0,75 \cdot 9 = -6,75$.
Точка с координатами $(-3; -6,75)$ не принадлежит графику.

5. Анализ количества решений.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
График функции $y = 0,75x \cdot |x|$ при $x \neq -3$ представляет собой непрерывную линию (состоящую из двух частей парабол), из которой удалена одна точка $(-3; -6,75)$.
Горизонтальная прямая не будет иметь общих точек с графиком только в одном случае: если она проходит через "выколотую" точку.
Это происходит при $m = -6,75$.

Ответ: -6,75

Источник: ФИПИ