Задание №25 — Геометрия

#48481Задание №25ФИПИ

Многоугольники

Боковые стороны $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 20 и 29,
а основание $B C$ равно 4. Биссектриса угла $A D C$ проходит через середину стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$ . По условию $AM = MB = 20 : 2 = 10$ . Проведём биссектрису угла $D$ , которая по условию проходит через точку $M$ . Обозначим угол $ADM$ как $\alpha$ , тогда угол $MDC$ также равен $\alpha$ .

2) Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $K$ . Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK$ . В них:
— $AM = MB$ (так как $M$ — середина);
— $\angle MAD = \angle MBK$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ );
— $\angle AMD = \angle BMK$ (как вертикальные).
Следовательно, треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $AD = BK$ и $DM = MK$ .

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $AD$ и $BK$ и секущей $DK$ . Угол $\angle ADM$ равен углу $\angle MKB$ как накрест лежащий. Так как $\angle ADM = \alpha$ , то и $\angle MKB = \alpha$ .
Заметим, что в треугольнике $KCD$ углы при основании $KD$ равны: $\angle CKD = \alpha$ и $\angle CDK = \alpha$ . Значит, треугольник $KCD$ — равнобедренный, и $KC = CD = 29$ .

4) Так как $KC = KB + BC$ , мы можем найти $KB$ :
$KB = KC - BC = 29 - 4 = 25$ .
Поскольку из равенства треугольников $AD = KB$ , получаем, что нижнее основание трапеции $AD = 25$ .

5) Теперь найдём высоту трапеции $h$ . Проведём высоты $BH$ и $CP$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$ . Тогда $PD = AD - BC - x = 25 - 4 - x = 21 - x$ .
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCP$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h^2$ :
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 20^2 - x^2$
$h^2 = CD^2 - PD^2 = 29^2 - (21 - x)^2$
Приравняем выражения:
$400 - x^2 = 841 - (441 - 42x + x^2)$
$400 - x^2 = 841 - 441 + 42x - x^2$
$400 = 400 + 42x$
$42x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и трапеция является прямоугольной. Тогда высота $h = AB = 20$ .

6) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$ :
$S = \frac{25 + 4}{2} \cdot 20 = \frac{29}{2} \cdot 20 = 29 \cdot 10 = 290$ .

Ответ: 290

Источник: ФИПИ