Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 20 : 2 = 10$. Проведём биссектрису угла $D$, которая по условию проходит через точку $M$. Обозначим угол $ADM$ как $\alpha$, тогда угол $MDC$ также равен $\alpha$.

2) Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $K$. Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK$. В них:
— $AM = MB$ (так как $M$ — середина);
— $\angle MAD = \angle MBK$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$);
— $\angle AMD = \angle BMK$ (как вертикальные).
Следовательно, треугольники $AMD$ и $BMK$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что $AD = BK$ и $DM = MK$.

3) Рассмотрим углы при параллельных прямых $AD$ и $BK$ и секущей $DK$. Угол $\angle ADM$ равен углу $\angle MKB$ как накрест лежащий. Так как $\angle ADM = \alpha$, то и $\angle MKB = \alpha$.
Заметим, что в треугольнике $KCD$ углы при основании $KD$ равны: $\angle CKD = \alpha$ и $\angle CDK = \alpha$. Значит, треугольник $KCD$ — равнобедренный, и $KC = CD = 29$.

4) Так как $KC = KB + BC$, мы можем найти $KB$:
$KB = KC - BC = 29 - 4 = 25$.
Поскольку из равенства треугольников $AD = KB$, получаем, что нижнее основание трапеции $AD = 25$.

5) Теперь найдём высоту трапеции $h$. Проведём высоты $BH$ и $CP$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$. Тогда $PD = AD - BC - x = 25 - 4 - x = 21 - x$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCP$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h^2$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 20^2 - x^2$
$h^2 = CD^2 - PD^2 = 29^2 - (21 - x)^2$
Приравняем выражения:
$400 - x^2 = 841 - (441 - 42x + x^2)$
$400 - x^2 = 841 - 441 + 42x - x^2$
$400 = 400 + 42x$
$42x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и трапеция является прямоугольной. Тогда высота $h = AB = 20$.

6) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$:
$S = \frac{25 + 4}{2} \cdot 20 = \frac{29}{2} \cdot 20 = 29 \cdot 10 = 290$.

Ответ: 290

Источник: ФИПИ