Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $x$ в числителе:
$y = \frac{x(x + 3) \cdot |x|}{x + 3}$.
При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x + 3)$:
$y = x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2$.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -3$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = -x^2$.
Итоговая функция: $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \geq 0 \\ -x^2, \text{ если } x < 0, x \neq -3 \end{cases}$

4. Построение графика.
График состоит из части параболы $y = x^2$ в первой четверти и части параболы $y = -x^2$ в третьей четверти.
Важно учесть "выколотую" точку. Найдём её координаты: подставим $x = -3$ в упрощённое выражение $y = -x^2$:
$y = -(-3)^2 = -9$.
Значит, точка $(-3; -9)$ будет выколота на графике.

5. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
— При любом $m > -9$, кроме $m = 0$, прямая пересекает одну из ветвей графика.
— При $m = 0$ прямая пересекает график в точке $(0; 0)$.
— При $m < -9$ прямая пересекает левую ветвь параболы $y = -x^2$.
Единственный случай, когда общих точек нет — это когда прямая проходит ровно через "дырку" в графике, то есть через выколотую точку $(-3; -9)$.
Это происходит при $m = -9$.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ