Задание 22

Построение графика функции · 157 заданий

Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = x² + 6 x + 7; x + 10 & при; при & x ⩾ - 4; x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² + 14 x - 3 | x + 8 | + 48 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 6 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x - 3 | - x² + 8 x - 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = x | x | + 2 | x | - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = 4 | x + 6 | - x² - 11 x - 30. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 2 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x + 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Сложное
Постройте график функции {l y = - x² + 8 x - 17; - x - 2 & при; при & x ⩾ 2; x < 2. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ро…
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = | x | · (x - 1) - 3 x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Среднее
Постройте график функции y = x² - 9 x - 2 | x - 4 | + 20 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.
Функции и графики
Задание №22
№22Лёгкое
Постройте график функции y = ((0,5 x² + x) · | x |)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
Функции и графики

Задание №22 — Алгебраические выражения

Постройте график функции

$y = \frac{\left(\right. x^{2} + 3 x \left.\right) \cdot \left|\right. x \left|\right.}{x + 3}$ .

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ .
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$ .

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $x$ в числителе:
$y = \frac{x(x + 3) \cdot |x|}{x + 3}$ .
При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x + 3)$ :
$y = x \cdot |x|$ .

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$ :
— Если $x \geq 0$ , то $|x| = x$ , и функция принимает вид $y = x^2$ .
— Если $x < 0$ (и $x \neq -3$ ), то $|x| = -x$ , и функция принимает вид $y = -x^2$ .
Итоговая функция: $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \geq 0 \\ -x^2, \text{ если } x < 0, x \neq -3 \end{cases}$

4. Построение графика.
График состоит из части параболы $y = x^2$ в первой четверти и части параболы $y = -x^2$ в третьей четверти.
Важно учесть "выколотую" точку. Найдём её координаты: подставим $x = -3$ в упрощённое выражение $y = -x^2$ :
$y = -(-3)^2 = -9$ .
Значит, точка $(-3; -9)$ будет выколота на графике.

5. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$ .
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие $m$ , при которых эта прямая не пересекает график.
— При любом $m > -9$ , кроме $m = 0$ , прямая пересекает одну из ветвей графика.
— При $m = 0$ прямая пересекает график в точке $(0; 0)$ .
— При $m < -9$ прямая пересекает левую ветвь параболы $y = -x^2$ .
Единственный случай, когда общих точек нет — это когда прямая проходит ровно через "дырку" в графике, то есть через выколотую точку $(-3; -9)$ .
Это происходит при $m = -9$ .

Ответ: -9

Источник: ФИПИ