Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение, задающее функцию, и найдём её область определения.
Функция имеет вид: $y = \frac{1,5|x| - 1}{|x| - 1,5x^2}$.
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда знаменатель можно переписать так: $|x| - 1,5|x|^2$.
Вынесем в знаменателе за скобки $-|x|$:
$y = \frac{1,5|x| - 1}{-|x|(1,5|x| - 1)}$.
Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:
$|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$;
$1,5|x| - 1 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq \frac{1}{1,5} \Rightarrow |x| \neq \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq \pm \frac{2}{3}$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -2/3) \cup (-2/3; 0) \cup (0; 2/3) \cup (2/3; +\infty)$.

2. Сократим дробь на $(1,5|x| - 1)$ при условии, что $x \neq \pm 2/3$:
$y = -\frac{1}{|x|}$.
Раскроем модуль:
Если $x > 0$, то $y = -\frac{1}{x}$.
Если $x < 0$, то $y = \frac{1}{x}$.
График данной функции — это две ветви гиперболы, расположенные в III и IV четвертях, с «выколотыми» точками.

3. Найдём координаты «выколотых» точек:
Если $x = 2/3$, то $y = -\frac{1}{2/3} = -1,5$. Точка $A(2/3; -1,5)$.
Если $x = -2/3$, то $y = \frac{1}{-2/3} = -1,5$. Точка $B(-2/3; -1,5)$.

4. Определим значения $k$, при которых прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек:
— Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Так как сама функция не определена при $x = 0$, прямая не может пересечь график в этой точке. Однако при любом $k$ прямая будет пересекать ветви гиперболы, за исключением особых случаев.
— Случай 1: Прямая проходит через «выколотую» точку $A(2/3; -1,5)$.
$-1,5 = k \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow k = -1,5 \cdot \frac{3}{2} = -2,25$.
— Случай 2: Прямая проходит через «выколотую» точку $B(-2/3; -1,5)$.
$-1,5 = k \cdot (-\frac{2}{3}) \Rightarrow k = 1,5 \cdot \frac{3}{2} = 2,25$.
— Случай 3: Прямая не пересекает гиперболу, если она совпадает с осями координат или лежит в тех четвертях, где нет графика. В нашем случае график лежит только в III и IV четвертях (ниже оси $Ox$). Прямая $y = kx$ при $k = 0$ превращается в ось $Ox$ ($y = 0$), которая является асимптотой для гиперболы и не имеет с ней общих точек.

Ответ: -2,25; 0; 2,25

Источник: ФИПИ