Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. Рассмотрим треугольник $AED$. По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, то есть $\angle EAD + \angle EDA = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника $\angle AED = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия для сторон, лежащих на боковых прямых: $\frac{BE}{AE} = \frac{BC}{AD}$. Пусть $BE = x$. Тогда $AE = AB + BE = 15 + x$. Подставим известные значения: $\frac{x}{15 + x} = \frac{4}{28}$. Сократим дробь: $\frac{x}{15 + x} = \frac{1}{7}$. Решим уравнение: $7x = 15 + x$, откуда $6x = 15$, значит $x = 2,5$. Таким образом, $BE = 2,5$, а $AE = 15 + 2,5 = 17,5$.

3. Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $K$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки ($E$) к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. $EK^2 = EA \cdot EB$. Подставим найденные длины: $EK^2 = 17,5 \cdot 2,5 = \frac{35}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{175}{4}$. Отсюда $EK = \sqrt{\frac{175}{4}} = \frac{5\sqrt{7}}{2} = 2,5\sqrt{7}$.

4. Введём систему координат или воспользуемся геометрическим методом. Центр окружности $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к хорде $AB$. Так как $\angle AED = 90^\circ$, прямая $AE$ перпендикулярна $EK$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $EM = EB + BM = 2,5 + \frac{15}{2} = 2,5 + 7,5 = 10$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AE$ равно радиусу $R$, проведённому в точку касания $K$, так как $OK \perp EK$ и $AE \perp EK$ (то есть $OK \parallel AE$). Расстояние от центра $O$ до прямой $EK$ равно $EM = 10$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$, катетами которого являются расстояние от центра до хорды $AB$ и половина этой хорды. Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ равно $EK = 2,5\sqrt{7}$. Половина хорды $AM = 7,5$. По теореме Пифагора для радиуса $R$: $R^2 = EK^2 + AM^2$ $R^2 = (2,5\sqrt{7})^2 + (7,5)^2$ $R^2 = 6,25 \cdot 7 + 56,25$ $R^2 = 43,75 + 56,25 = 100$. Следовательно, $R = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ