Задание №25 — Геометрия

#48484Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ основания $A D$ и $B C$ равны соответственно 28 и 4,
а сумма углов при основании $A D$ равна $90 °$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $C D$ , если $A B = 15$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$ . Рассмотрим треугольник $AED$ . По условию сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$ , то есть $\angle EAD + \angle EDA = 90^\circ$ . Следовательно, третий угол треугольника $\angle AED = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ . Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны, треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия для сторон, лежащих на боковых прямых: $\frac{BE}{AE} = \frac{BC}{AD}$ . Пусть $BE = x$ . Тогда $AE = AB + BE = 15 + x$ . Подставим известные значения: $\frac{x}{15 + x} = \frac{4}{28}$ . Сократим дробь: $\frac{x}{15 + x} = \frac{1}{7}$ . Решим уравнение: $7x = 15 + x$ , откуда $6x = 15$ , значит $x = 2,5$ . Таким образом, $BE = 2,5$ , а $AE = 15 + 2,5 = 17,5$ .

3. Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $K$ . По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки ( $E$ ) к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. $EK^2 = EA \cdot EB$ . Подставим найденные длины: $EK^2 = 17,5 \cdot 2,5 = \frac{35}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{175}{4}$ . Отсюда $EK = \sqrt{\frac{175}{4}} = \frac{5\sqrt{7}}{2} = 2,5\sqrt{7}$ .

4. Введём систему координат или воспользуемся геометрическим методом. Центр окружности $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к хорде $AB$ . Так как $\angle AED = 90^\circ$ , прямая $AE$ перпендикулярна $EK$ . Пусть $M$ — середина хорды $AB$ . Тогда $EM = EB + BM = 2,5 + \frac{15}{2} = 2,5 + 7,5 = 10$ . Расстояние от центра $O$ до прямой $AE$ равно радиусу $R$ , проведённому в точку касания $K$ , так как $OK \perp EK$ и $AE \perp EK$ (то есть $OK \parallel AE$ ). Расстояние от центра $O$ до прямой $EK$ равно $EM = 10$ .

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ , катетами которого являются расстояние от центра до хорды $AB$ и половина этой хорды. Расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ равно $EK = 2,5\sqrt{7}$ . Половина хорды $AM = 7,5$ . По теореме Пифагора для радиуса $R$ : $R^2 = EK^2 + AM^2$ $R^2 = (2,5\sqrt{7})^2 + (7,5)^2$ $R^2 = 6,25 \cdot 7 + 56,25$ $R^2 = 43,75 + 56,25 = 100$ . Следовательно, $R = \sqrt{100} = 10$ .

Ответ: 10

Источник: ФИПИ