Задание №25 — Геометрия

#48485Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

На стороне $B C$ остроугольного треугольника $A B C$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $A D$ в точке $M$ , $A D = 72$ , $M D = 18$ ,
$H$ $—$ точка пересечения высот треугольника $A B C$ . Найдите $A H$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. По условию, высота $AD$ пересекает эту полуокружность в точке $M$ . Так как $BC$ — диаметр, а высота $AD$ перпендикулярна $BC$ , то точка $D$ является основанием высоты и лежит на диаметре. Отрезок $MD$ — это часть высоты, лежащая внутри полуокружности.

2) Воспользуемся свойством пересекающихся хорд (или свойством высоты в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность). Если мы мысленно достроим полуокружность до полной окружности, то хорда, содержащая диаметр $BC$ , и хорда, содержащая высоту, пересекутся в точке $D$ . По свойству отрезков хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Обозначим точки пересечения окружности со сторонами $AB$ и $AC$ как $P$ и $K$ . Однако проще воспользоваться тем, что $MD^2 = BD \cdot DC$ . Это следует из того, что если соединить точку $M$ с концами диаметра $B$ и $C$ , то угол $\angle BMC$ будет прямым (как вписанный угол, опирающийся на диаметр), а $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC$ , опущенная на гипотенузу.
Следовательно: $MD^2 = BD \cdot DC$ .
Подставим известное значение $MD = 18$ :
$BD \cdot DC = 18^2 = 324$ .

3) Теперь рассмотрим точку $H$ — ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника $ABC$ . По свойству высот остроугольного треугольника, точка $H$ делит высоту $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$ . Известно классическое свойство: произведение отрезков высот от вершины до точки пересечения и от точки пересечения до основания связаны соотношением $BD \cdot DC = AD \cdot HD$ (это легко доказать через подобие прямоугольных треугольников $ADC$ и $BDH$ , у которых $\angle DAC = \angle DBH$ , так как они оба дополняют угол $C$ до $90^\circ$ ).
Таким образом: $BD \cdot DC = AD \cdot HD$ .

4) Мы уже нашли, что $BD \cdot DC = 324$ . Также из условия известно, что $AD = 72$ . Подставим эти данные в формулу:
$324 = 72 \cdot HD$ .
Отсюда найдем длину отрезка $HD$ :
$HD = \frac{324}{72} = \frac{81}{18} = 4,5$ .

5) Нам нужно найти длину отрезка $AH$ . Так как точка $H$ лежит на высоте $AD$ , то:
$AH = AD - HD$ .
$AH = 72 - 4,5 = 67,5$ .

Ответ: 67,5

Источник: ФИПИ