Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. По условию, высота $AD$ пересекает эту полуокружность в точке $M$. Так как $BC$ — диаметр, а высота $AD$ перпендикулярна $BC$, то точка $D$ является основанием высоты и лежит на диаметре. Отрезок $MD$ — это часть высоты, лежащая внутри полуокружности.

2) Воспользуемся свойством пересекающихся хорд (или свойством высоты в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность). Если мы мысленно достроим полуокружность до полной окружности, то хорда, содержащая диаметр $BC$, и хорда, содержащая высоту, пересекутся в точке $D$. По свойству отрезков хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Обозначим точки пересечения окружности со сторонами $AB$ и $AC$ как $P$ и $K$. Однако проще воспользоваться тем, что $MD^2 = BD \cdot DC$. Это следует из того, что если соединить точку $M$ с концами диаметра $B$ и $C$, то угол $\angle BMC$ будет прямым (как вписанный угол, опирающийся на диаметр), а $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC$, опущенная на гипотенузу.
Следовательно: $MD^2 = BD \cdot DC$.
Подставим известное значение $MD = 18$:
$BD \cdot DC = 18^2 = 324$.

3) Теперь рассмотрим точку $H$ — ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника $ABC$. По свойству высот остроугольного треугольника, точка $H$ делит высоту $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$. Известно классическое свойство: произведение отрезков высот от вершины до точки пересечения и от точки пересечения до основания связаны соотношением $BD \cdot DC = AD \cdot HD$ (это легко доказать через подобие прямоугольных треугольников $ADC$ и $BDH$, у которых $\angle DAC = \angle DBH$, так как они оба дополняют угол $C$ до $90^\circ$).
Таким образом: $BD \cdot DC = AD \cdot HD$.

4) Мы уже нашли, что $BD \cdot DC = 324$. Также из условия известно, что $AD = 72$. Подставим эти данные в формулу:
$324 = 72 \cdot HD$.
Отсюда найдем длину отрезка $HD$:
$HD = \frac{324}{72} = \frac{81}{18} = 4,5$.

5) Нам нужно найти длину отрезка $AH$. Так как точка $H$ лежит на высоте $AD$, то:
$AH = AD - HD$.
$AH = 72 - 4,5 = 67,5$.

Ответ: 67,5

Источник: ФИПИ