Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -5$ функция имеет вид $y = x^2 + 4x + 4$.
Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно свернуть по формуле квадрата суммы: $y = (x + 2)^2$.
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-2; 0)$.
Найдём значение функции на границе промежутка: при $x = -5$, $y = (-5 + 2)^2 = (-3)^2 = 9$.
Точка $(-5; 9)$ принадлежит графику.

2) На промежутке $x < -5$ функция имеет вид $y = -\frac{45}{x}$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$).
Найдём значение, к которому стремится функция на границе: при $x \to -5$, $y \to -\frac{45}{-5} = 9$.
Так как значения в граничной точке $x = -5$ совпали ($9 = 9$), график функции является непрерывным.

3) Теперь определим количество общих точек графика с горизонтальной прямой $y = m$. Прямая $y = m$ параллельна оси $Ox$.
Проследим за изменением количества пересечений при движении прямой снизу вверх (от $-\infty$ до $+\infty$):
— При $m < 0$: прямая не пересекает параболу (так как $y = (x+2)^2 \geq 0$) и не пересекает ветвь гиперболы (так как при $x < -5$ значение $y = -45/x > 0$). Общих точек 0.
— При $m = 0$: прямая касается вершины параболы в точке $(-2; 0)$. Общая точка 1.
— При $0 < m < 9$: прямая пересекает левую ветвь параболы, правую ветвь параболы и ветвь гиперболы. Общих точек 3.
— При $m = 9$: прямая проходит через точку стыка $(-5; 9)$ и пересекает правую ветвь параболы. Общих точек 2.
— При $m > 9$: прямая пересекает только правую ветвь параболы (так как гипербола на данном участке ограничена сверху значением 9, а левая ветвь параболы заканчивается в точке $(-5; 9)$). Общая точка 1.

Таким образом, одна общая точка наблюдается при $m = 0$ и при $m > 9$. Две общие точки наблюдаются при $m = 9$.

Объединяя условия, получаем: $m = 0$ или $m \geq 9$.

Ответ: $m = 0$; $m \geq 9$.

Источник: ФИПИ