Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Упростим выражение. Обозначим $a=\frac{x}{5,5}$, $b=\frac{5,5}{x}$ (при $x\neq 0$). Тогда $y=\frac{1}{2}\left(|a-b|+a+b\right)$. Воспользуемся тождеством $\frac{1}{2}\left(|a-b|+a+b\right)=\max(a;b)$. Значит, $y=\max\left(\frac{x}{5,5};\ \frac{5,5}{x}\right)$.

Найдём, где $\frac{x}{5,5}\geq\frac{5,5}{x}$:
$\frac{x}{5,5}-\frac{5,5}{x}\geq 0\Rightarrow\frac{x^2-30,25}{5,5x}\geq 0\Rightarrow\frac{(x-5,5)(x+5,5)}{5,5x}\geq 0$.
Методом интервалов получаем $x\in[-5,5;0)\cup[5,5;+\infty)$ — на этих промежутках $y=\frac{x}{5,5}$; на остальных $x\in(-\infty;-5,5)\cup(0;5,5)$ имеем $y=\frac{5,5}{x}$.

Опишем график по кускам:
— $x\in(-\infty;-5,5)$: ветвь гиперболы $y=\frac{5,5}{x}$; при $x\to-\infty$ $y\to 0^-$, при $x\to-5,5$ $y\to-1$ (значение $-1$ не достигается). Значения $y\in(-1;0)$.
— $x\in[-5,5;0)$: отрезок прямой $y=\frac{x}{5,5}$; при $x=-5,5$ $y=-1$ (точка закрашена), при $x\to 0^-$ $y\to 0^-$. Значения $y\in[-1;0)$.
— $x\in(0;5,5)$: ветвь гиперболы $y=\frac{5,5}{x}$; при $x\to 0^+$ $y\to+\infty$, при $x\to5,5$ $y\to 1$ (не достигается). Значения $y\in(1;+\infty)$.
— $x\in[5,5;+\infty)$: луч прямой $y=\frac{x}{5,5}$; при $x=5,5$ $y=1$ (точка закрашена), далее $y$ растёт. Значения $y\in[1;+\infty)$.

Ключевой момент: наименьшее значение функции равно $-1$ и достигается лишь в точке $(-5,5;-1)$ — ниже уровня $y=-1$ графика нет. Аналогично, в правой части наименьшее значение равно $1$ (точка $(5,5;1)$), а на уровнях 0 Определим число общих точек прямой \(y=m с графиком, двигаясь снизу вверх:
— при $m<-1$: общих точек нет (график не опускается ниже $-1$);
— при $m=-1$: единственная точка $(-5,5;-1)$ — конец отрезка прямой; левая ветвь гиперболы к уровню $-1$ только стремится. Итого 1 точка;
— при -1 — при \(m=0: общих точек нет (обе левые части лишь стремятся к $0$, не достигая его);
— при 0 — при \(m=1: единственная точка $(5,5;1)$ — начало луча прямой; правая ветвь гиперболы к уровню $1$ только стремится. Итого 1 точка;
— при $m>1$: прямая пересекает правую ветвь гиперболы и луч прямой — 2 точки. Таким образом, ровно одна общая точка получается при $m=-1$ и при $m=1$. Ответ: $m=-1$; $m=1$.