Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $a$ — меньшее основание трапеции, $b$ — большее основание, а $c$ — её боковая сторона. Так как трапеция равнобедренная, обе её боковые стороны равны $c$.

2) По условию в трапецию можно вписать окружность. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Значит, $a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.

3) Периметр трапеции равен 80. Формула периметра: $P = a + b + 2c$. Подставим в неё равенство $a + b = 2c$:
$2c + 2c = 80$;
$4c = 80$;
$c = 20$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2c = 40$.

4) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Подставим известные значения:
$320 = \frac{40}{2} \cdot h$;
$320 = 20 \cdot h$;
$h = 16$.

5) Пусть $h_1$ — расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания $a$, а $h_2$ — расстояние до большего основания $b$. Тогда $h_1 + h_2 = h = 16$.

6) Треугольники, образованные основаниями и точкой пересечения диагоналей, подобны по двум углам (углы при основаниях равны как накрест лежащие при параллельных прямых). Коэффициент подобия $k$ равен отношению оснований: $k = \frac{a}{b}$. Высоты в этих треугольниках относятся так же, как и основания: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b}$.

7) Найдём длины оснований. Проведём высоты из вершин меньшего основания. Они отсекают на большем основании отрезки, равные $\frac{b - a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона $c = 20$, а катет — высота $h = 16$. По теореме Пифагора второй катет равен:
$\sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$.
Значит, $\frac{b - a}{2} = 12$, откуда $b - a = 24$.

8) Решим систему уравнений для оснований:
$a + b = 40$
$b - a = 24$
Складывая уравнения, получим $2b = 64$, то есть $b = 32$. Тогда $a = 40 - 32 = 8$.

9) Теперь вернёмся к подобию: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
Значит, $h_2 = 4h_1$. Подставим это в сумму высот:
$h_1 + 4h_1 = 16$;
$5h_1 = 16$;
$h_1 = 3,2$.

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ