Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр меньшей окружности радиуса $r = 25$, а $O_2$ — центр большей окружности радиуса $R = 100$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 100 + 25 = 125$.

2) Рассмотрим общую касательную $AC$. Пусть $A$ — точка касания с первой окружностью, $C$ — со второй. Проведём радиусы $O_1A$ и $O_2C$ в точки касания. По свойству касательной $O_1A \perp AC$ и $O_2C \perp AC$. Значит, $O_1A \parallel O_2C$, и фигура $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3) Найдём длину отрезка касательной $AC$. Опустим перпендикуляр $O_1H$ из центра $O_1$ на радиус $O_2C$. Тогда $O_1HCA$ — прямоугольник, $O_1H = AC$, а $CH = O_1A = 25$. Тогда $O_2H = O_2C - CH = 100 - 25 = 75$. Из прямоугольного треугольника $O_1HO_2$ по теореме Пифагора:
$AC = O_1H = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2H^2} = \sqrt{125^2 - 75^2} = \sqrt{(125-75)(125+75)} = \sqrt{50 \cdot 200} = \sqrt{10000} = 100$.

4) Прямые $AB$ и $CD$ — это хорды, перпендикулярные линии центров $O_1O_2$ в силу симметрии фигуры относительно этой линии. Пусть линия центров пересекает $AB$ в точке $M$, а $CD$ в точке $N$. Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно длине отрезка $MN$. Заметим, что $MN = MH + HN$, где $H$ — проекция $O_1$ на $O_2C$, но удобнее рассмотреть подобие.

5) Пусть общие касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $S$. Из подобия треугольников $SO_1A$ и $SO_2C$ имеем: $\frac{SO_1}{SO_2} = \frac{r}{R} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Пусть $SO_1 = x$, тогда $SO_2 = x + 125$. Получаем уравнение: $4x = x + 125$, откуда $3x = 125$, то есть $SO_1 = \frac{125}{3}$.
Тогда $SO_2 = \frac{125}{3} + 125 = \frac{500}{3}$.

6) В прямоугольном треугольнике $SO_1A$ отрезок $AM$ — высота, проведённая к гипотенузе. По свойствам прямоугольного треугольника:
$O_1M = \frac{O_1A^2}{SO_1} = \frac{25^2}{125/3} = \frac{625 \cdot 3}{125} = 5 \cdot 3 = 15$.
Аналогично в треугольнике $SO_2C$ отрезок $CN$ — высота:
$O_2N = \frac{O_2C^2}{SO_2} = \frac{100^2}{500/3} = \frac{10000 \cdot 3}{500} = 20 \cdot 3 = 60$.

7) Искомое расстояние $MN$ равно сумме или разности отрезков на линии центров. Точка $M$ лежит правее $O_1$ на 15 единиц, а точка $N$ лежит левее $O_2$ на 60 единиц.
$MN = O_1O_2 - O_1M - O_2N = 125 - 15 - 60 = 50$.

Ответ: 50

Источник: ФИПИ