Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как $O$. По условию задачи $BO : OH = 5 : 4$.

2) Рассмотрим треугольник $ABH$. В нём отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{5}{4}$.

3) Пусть $AB = 5x$, тогда $AH = 4x$. Треугольник $ABH$ является прямоугольным (так как $BH$ — высота). По теореме Пифагора:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (5x)^2 - (4x)^2 = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2$.
Отсюда $BH = 3x$.

4) В прямоугольном треугольнике $ABH$ найдём синус угла $A$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} = 0,6$.

5) По теореме синусов для треугольника $ABC$: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$):
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.

6) Подставим известные значения ($BC = 6$ и $\sin A = 0,6$) в формулу:
$2R = \frac{6}{0,6} = 10$.
Отсюда $R = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ