Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим высоту $AD$ треугольника $ABC$. По условию точка $M$ лежит на этой высоте, причём $AD = 81$ и $MD = 9$. Найдём длину отрезка $AM$:
$AM = AD - MD = 81 - 9 = 72$.

2. Пусть полуокружность с диаметром $BC$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BPC$ и $\angle BKC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$). Следовательно, $CP$ и $BK$ — высоты треугольника $ABC$.

3. Точка $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Значит, высоты $AD$, $BK$ и $CP$ пересекаются в точке $H$. Заметим, что точка $D$ лежит на диаметре $BC$, так как $AD \perp BC$.

4. Рассмотрим прямую $AD$. Она пересекает полуокружность в точке $M$. По свойству пересекающихся хорд (или в данном случае, используя свойство высоты в прямоугольном треугольнике, если достроить полуокружность до полной окружности), произведение отрезков секущей от вершины до точек пересечения с окружностью связано с отрезками на диаметре. Однако проще воспользоваться свойством прямоугольных треугольников. В треугольнике $BHC$ точка $D$ является основанием высоты, но нам важно рассмотреть положение точки $H$ на высоте $AD$.

5. Известно свойство: произведение отрезков высоты $AH \cdot HD = BH \cdot HK$ (из подобия треугольников). Также воспользуемся свойством точки $M$ на окружности. Так как $BC$ — диаметр, то для любой точки $X$ на окружности выполняется соотношение $XD^2 = BD \cdot DC$. В нашем случае $MD^2 = BD \cdot DC$. Значит, $BD \cdot DC = 9^2 = 81$.

6. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $HCD$. Они подобны по двум углам ($\angle ADB = \angle HDC = 90^\circ$, $\angle BAD = \angle HCD$, так как они оба дополняют угол $ABC$ до $90^\circ$). Из подобия следует:
$\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{HD}$, откуда $AD \cdot HD = BD \cdot CD$.

7. Подставим известные значения:
$81 \cdot HD = 81$.
Отсюда находим длину отрезка $HD$:
$HD = \frac{81}{81} = 1$.

8. Теперь найдём искомый отрезок $AH$:
$AH = AD - HD = 81 - 1 = 80$.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ