Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x^2 - x \neq 0$
$x(x - 1) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Это значит, что на графике будут две "выколотые" точки с абсциссами $0$ и $1$.

2. Упростим выражение функции на её области определения. Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = -5 - \frac{x - 1}{x(x - 1)}$
Так как $x \neq 1$, мы можем сократить на $(x - 1)$:
$y = -5 - \frac{1}{x}$

3. Графиком функции $y = -\frac{1}{x} - 5$ является гипербола, полученная из гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вниз на $5$ единиц. Асимптотами данной гиперболы являются прямые $x = 0$ (ось ординат) и $y = -5$.
Найдём координаты "выколотой" точки при $x = 1$:
$y(1) = -5 - \frac{1}{1} = -5 - 1 = -6$.
Точка $(1; -6)$ не принадлежит графику.

4. Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая не пересекает гиперболу.
Это происходит в двух случаях:
— Когда прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. В нашем случае это прямая $y = -5$. Значит, $m = -5$.
— Когда прямая проходит через "выколотую" точку графика. Мы нашли, что при $x = 1$ значение функции должно было быть $-6$. Значит, прямая $y = -6$ не встретит график в этой точке. Таким образом, $m = -6$.
При $x = 0$ функция не определена, но это значение уже учтено асимптотой $x = 0$, к которой график бесконечно приближается, но не пересекает её.

Ответ: -6; -5

Источник: ФИПИ