Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $O$ — центр вписанной в него окружности. По определению, центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. Следовательно, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

2) Расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ — это радиус $r$ вписанной окружности треугольника $ABC$. По условию, это расстояние равно $7$. Значит, $r = 7$.

3) Пусть $K$ — проекция точки $O$ на сторону $AC$. Тогда в прямоугольном треугольнике $AOK$ гипотенуза $AO = 25$ (по условию), а катет $OK = r = 7$. По теореме Пифагора найдем отрезок $AK$:
$AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

4) Пусть угол $\angle KAO = \alpha$. Тогда $\sin \alpha = \frac{OK}{AO} = \frac{7}{25}$, а $\cos \alpha = \frac{AK}{AO} = \frac{24}{25}$. Так как $AO$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAC = 2\alpha$.

5) Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к прямой $AD$. По условию $OH = 19$. В параллелограмме $ABCD$ прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до прямой $BC$ также равно радиусу $r = 7$. Тогда высота параллелограмма $h$, проведенная к стороне $AD$, равна сумме расстояний от точки $O$ до $AD$ и до $BC$, так как точка $O$ лежит между этими параллельными прямыми. Таким образом, $h = 19 + 7 = 26$.

6) Заметим, что $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны как накрест лежащие при $AD \parallel BC$. Обозначим $\angle CAD = \beta$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно $19$. С другой стороны, это расстояние можно выразить через синус угла между $AO$ и $AD$. Угол между $AO$ и $AD$ равен $\angle OAD = \beta$. Тогда $OH = AO \cdot \sin \beta$.
$19 = 25 \cdot \sin \beta \Rightarrow \sin \beta = \frac{19}{25}$.
Так как $\beta$ — угол треугольника, $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{19}{25})^2} = \sqrt{\frac{625 - 361}{625}} = \sqrt{\frac{264}{625}} = \frac{\sqrt{264}}{25} = \frac{2\sqrt{66}}{25}$.

7) Угол параллелограмма $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 2\alpha + \beta$.
Найдем синус этого угла:
$\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta$.
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.
$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{24}{25})^2 - (\frac{7}{25})^2 = \frac{576 - 49}{625} = \frac{527}{625}$.
$\sin(2\alpha + \beta) = \frac{336}{625} \cdot \frac{2\sqrt{66}}{25} + \frac{527}{625} \cdot \frac{19}{25} = \frac{672\sqrt{66} + 10013}{15625}$.
Однако, проще найти сторону $AD$. В треугольнике $ACD$ высота к $AD$ равна $h = 26$. Из вершины $C$ опустим высоту $CH$ на $AD$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ACH$: $CH = 26$, $\angle CAH = \beta$.
$AC = \frac{CH}{\sin \beta} = \frac{26}{19/25} = \frac{26 \cdot 25}{19} = \frac{650}{19}$.

8) В треугольнике $ABC$ радиус вписанной окружности $r = \frac{S_{ABC}}{p}$, где $p$ — полупериметр. Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(2\alpha)$.
Воспользуемся свойством: расстояние от вершины $A$ до точки касания окружности со стороной $AC$ равно $AK = 24$. Это расстояние равно $p - BC$.
Значит, $p - BC = 24 \Rightarrow p = 24 + BC$.
Площадь $S_{ABC} = r \cdot p = 7(24 + BC)$.
Также по теореме синусов в $\triangle ABC$: $\frac{BC}{\sin 2\alpha} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$. Угол $\angle ABC = 180^\circ - (2\alpha + \beta)$.
$\sin(\angle ABC) = \sin(2\alpha + \beta)$.
$BC = \frac{AC \cdot \sin 2\alpha}{\sin(2\alpha + \beta)}$.
Площадь параллелограмма $S = AD \cdot h$. Заметим, что $AD = BC$.
$S = BC \cdot 26$.
Найдем $BC$ из треугольника $ABC$. Воспользуемся формулой $r = (p-a)\tan(A/2)$.
Для $\triangle ABC$: $r = (p - BC) \tan \alpha$.
$7 = 24 \cdot \tan \alpha$. Проверим: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{24}$.
$7 = 24 \cdot \frac{7}{24} = 7$. Это верно.
Теперь используем формулу $r = \frac{AC \sin(2\alpha) \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta \dots}$ — нет, проще через углы.
В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle BCA = \beta$ (так как $BC \parallel AD$).
Тогда по теореме синусов: $\frac{BC}{\sin 2\alpha} = \frac{AC}{\sin(180^\circ - (2\alpha + \beta))}$.
$BC = \frac{AC \sin 2\alpha}{\sin(2\alpha + \beta)}$.
Подставим $AC = \frac{650}{19}$:
$BC = \frac{650}{19} \cdot \frac{336/625}{(336 \cdot \frac{2\sqrt{66}}{25} + 527 \cdot \frac{19}{25})/625} = \frac{650 \cdot 336}{19 \cdot \frac{672\sqrt{66} + 10013}{25}}$. Это слишком сложно.

9) Пересчитаем: $h = 26$. $S = AD \cdot 26$.
В треугольнике $ABC$ высота из $B$ на $AC$ равна $h_{B}$.
Расстояние от $O$ до $AC$ равно $7$. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $7$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно $19$.
Так как $AD \parallel BC$, высота параллелограмма $h = 19 + 7 = 26$.
Пусть $h_B$ — высота треугольника $ABC$ из вершины $B$ на $AC$. Так как $B$ лежит на прямой $BC$, а расстояние от $BC$ до $AC$ постоянно (это высота треугольника $ABC$), то $h_B = h_{AC}$.
Но $O$ — центр вписанной окружности. Расстояние от $O$ до $AC$ равно $7$.
Пусть $h_B$ — высота из $B$ на $AC$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B$.
Угол $\angle CAD = \beta$. Тогда высота параллелограмма $h = AC \sin \beta = 26$.
В треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB = \angle CAD = \beta$ (накрест лежащие).
Высота $h_B$ из вершины $B$ на $AC$ равна $BC \sin \beta$. Но $BC = AD$, значит $h_B = AD \sin \beta = 26$.
Теперь найдем $BC$ через радиус $r=7$ и углы $\angle BAC = 2\alpha$ и $\angle BCA = \beta$.
В любом треугольнике $a = r (\text{ctg} \frac{B}{2} + \text{ctg} \frac{C}{2})$.
$BC = r (\text{ctg} \frac{\angle ABC}{2} + \text{ctg} \frac{\beta}{2})$. Это сложно.
Используем: $S_{ABC} = p \cdot r$. Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_B = \frac{1}{2} BC \cdot 26 = 13 BC$.
$13 BC = 7 p$. Мы знаем, что $p = \frac{AB + BC + AC}{2}$.
Также $p - BC = AK = 24$, значит $p = BC + 24$.
$13 BC = 7(BC + 24)$
$13 BC = 7 BC + 168$
$6 BC = 168$
$BC = 28$.

10) Площадь параллелограмма $S = BC \cdot h = 28 \cdot 26$.
$S = 728$.

Ответ: 728

Источник: ФИПИ