Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = |x^{2} + 3x + 2|$. Построение будем проводить поэтапно.

1. Построение вспомогательной параболы.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} + 3x + 2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ равен $1 > 0$).
Найдём координаты вершины параболы $(x_{0}; y_{0})$:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1,5$.
$y_{0} = f(-1,5) = (-1,5)^{2} + 3 \cdot (-1,5) + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = -0,25$.
Вершина находится в точке $(-1,5; -0,25)$.

2. Нахождение точек пересечения с осями.
С осью $Ox$ ($y=0$): $x^{2} + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_{1} = -2$, $x_{2} = -1$. Точки: $(-2; 0)$ и $(-1; 0)$.
С осью $Oy$ ($x=0$): $y = 0^{2} + 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка: $(0; 2)$.

3. Построение графика с модулем.
График функции $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: части графика, лежащие выше оси $Ox$ или на ней, остаются без изменений, а часть, лежащая ниже оси $Ox$ (от $-2$ до $-1$), симметрично отражается относительно этой оси вверх.
Таким образом, вершина параболы $(-1,5; -0,25)$ перейдёт в точку $(-1,5; 0,25)$.

4. Исследование количества общих точек.
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задаётся уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
Проанализируем количество пересечений прямой $y = c$ с нашим графиком при различных значениях $c$:
— При $c < 0$: общих точек нет (0 точек).
— При $c = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$, имеем 2 общие точки (корни уравнения).
— При $0 < c < 0,25$: прямая проходит между осью $Ox$ и отражённой вершиной. В этом случае она пересекает график в 4 точках.
— При $c = 0,25$: прямая проходит через отражённую вершину. Имеем 3 общие точки.
— При $c > 0,25$: прямая проходит выше вершины "бугорка", имеем 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ