Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $O$ — центр вписанной в него окружности. По определению, центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. Следовательно, отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

2) Расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ — это радиус $r$ вписанной окружности треугольника $ABC$. По условию, $r = 7$. Так как окружность касается всех сторон треугольника, расстояния от точки $O$ до сторон $AB$, $BC$ и $AC$ равны между собой и равны $7$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $A$, точкой $O$ и проекцией точки $O$ на сторону $AC$ (обозначим её $H$). В этом треугольнике $AO = 25$ (гипотенуза) и $OH = r = 7$ (катет). По теореме Пифагора найдем отрезок $AH$:
$AH = \sqrt{AO^2 - OH^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.

4) Пусть $\angle OAH = \alpha$. Тогда $\sin \alpha = \frac{OH}{AO} = \frac{7}{25}$, а $\cos \alpha = \frac{AH}{AO} = \frac{24}{25}$. Так как $AO$ — биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAC = 2\alpha$.

5) Проведем перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на прямую $AD$. По условию $OK = 17$. В параллелограмме $ABCD$ прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ равно $r = 7$. Поскольку точка $O$ лежит между параллельными прямыми $BC$ и $AD$, высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $AD$, равна сумме расстояний от $O$ до этих прямых:
$h = 7 + 17 = 24$.

6) Найдем синус угла $A$ параллелограмма. Угол $BAD = \angle BAC + \angle CAD$. Однако проще воспользоваться тем, что $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Заметим, что расстояние от $O$ до $AD$ равно $17$. Пусть $h_1$ — расстояние от $A$ до $BC$, тогда $h_1 = h = 24$.
Из треугольника $ABC$ площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r_{p}$, где $r_p$ — полупериметр. Но также $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{AC}$.
Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Пусть $\angle CAD = \beta$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно $AO \cdot \sin \beta = 17$.
$\sin \beta = \frac{17}{AO} = \frac{17}{25}$. Тогда $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{17}{25})^2} = \sqrt{\frac{625 - 289}{625}} = \sqrt{\frac{336}{625}} = \frac{4\sqrt{21}}{25}$.

7) Угол $A$ параллелограмма равен $\angle BAC + \angle CAD = 2\alpha + \beta$. Высота параллелограмма $h = AB \cdot \sin(2\alpha + \beta) = 24$.
Вычислим $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.
Вычислим $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{576 - 49}{625} = \frac{527}{625}$.
Тогда $\sin(2\alpha + \beta) = \sin 2\alpha \cos \beta + \cos 2\alpha \sin \beta = \frac{336}{625} \cdot \frac{4\sqrt{21}}{25} + \frac{527}{625} \cdot \frac{17}{25}$. Это путь через углы.

8) Альтернативный путь: В треугольнике $ABC$ высота к стороне $AB$ равна $h_{AB} = AC \sin(2\alpha)$. Площадь $S_{ABCD} = AD \cdot h$.
Заметим, что в $\triangle ADC$ высота из $C$ на $AD$ равна $24$. Тогда $AD = \frac{24}{\sin(2\alpha + \beta)}$.
Проще найти сторону $AC$. В $\triangle ADC$ по теореме синусов: $\frac{AC}{\sin(2\alpha+\beta)} = \frac{CD}{\sin \beta}$.
Вернемся к $\triangle ABC$. Расстояние от $O$ до $AC$ равно $7$, до $AB$ равно $7$, до $BC$ равно $7$.
Пусть $\angle CAD = \beta$. Тогда $\sin \beta = \frac{17}{25}$.
Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD = \beta$.
В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle BCA = \beta$, тогда $\angle ABC = 180^\circ - (2\alpha + \beta)$.
По теореме синусов для $\triangle ABC$: $\frac{AC}{\sin(180^\circ - (2\alpha+\beta))} = \frac{AB}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin 2\alpha}$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{AC \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \beta}{\sin 2\alpha + \sin \beta + \sin(2\alpha+\beta)} = 7$.
Подставим значения: $\sin 2\alpha = \frac{336}{625}$, $\sin \beta = \frac{17}{25} = \frac{425}{625}$.
$\sin(2\alpha+\beta) = \frac{336 \cdot 4\sqrt{21} + 527 \cdot 17}{625 \cdot 25}$. Это слишком сложно.
Заметим: высота параллелограмма $H = 24$. Площадь $S = AC \cdot h_{AC}$.
В $\triangle ABC$ точка $O$ удалена от $AC$ на $7$. Высота из $B$ на $AC$ равна $H_{AC}$.
Расстояние от $B$ до $AD$ равно $24$. Пусть $h_B$ — высота из $B$ на $AC$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_B = p \cdot r$.
Используя тригонометрию: $AC = AH + HC = 24 + 7 \cdot \text{ctg}(\beta/2)$.
$\sin \beta = 17/25 \implies \text{tg}(\beta/2) = \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} = \frac{17/25}{1 + 4\sqrt{21}/25} = \frac{17}{25 + 4\sqrt{21}}$.
Проще: $S_{ABCD} = AD \cdot h$. Из $\triangle ACD$: $AD = \frac{24}{\sin \beta} \cdot \sin(\angle ACD)$.
На самом деле: $S_{ABCD} = \frac{h^2}{\sin A} \cdot \dots$ нет.
Воспользуемся тем, что $S_{ABC} = \frac{1}{2} r (AB+BC+AC)$. Также $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin(2\alpha)$.
Из $\triangle ABC$: $AB = \frac{r}{\text{tg} \alpha} + \frac{r}{\text{tg}(B/2)}$, $BC = \frac{r}{\text{tg}(B/2)} + \frac{r}{\text{tg}(\beta/2)}$, $AC = \frac{r}{\text{tg} \alpha} + \frac{r}{\text{tg}(\beta/2)}$.
Мы знаем $\text{tg} \alpha = \frac{7}{24}$. Значит $\frac{r}{\text{tg} \alpha} = \frac{7}{7/24} = 24$.
Тогда $AC = 24 + 7 \cdot \text{ctg}(\beta/2)$.
Так как $\sin \beta = 17/25$, то $\cos \beta = \pm \sqrt{1 - (17/25)^2} = \pm 336/625$ — нет, $\cos \beta = 24/25$ (если $\beta$ острый).
Если $\cos \beta = 24/25$, то $\text{ctg}(\beta/2) = \frac{1+\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{1+24/25}{17/25} = \frac{49}{17}$.
Тогда $AC = 24 + 7 \cdot \frac{49}{17} = \frac{408 + 343}{17} = \frac{751}{17}$.
Высота треугольника $ABC$, опущенная на $AC$, равна $h_{AC} = BC \sin \beta$.
Но мы знаем, что высота параллелограмма $h = 24$. $S = AD \cdot 24$.
В параллелограмме $AD = BC$. Из $\triangle ABC$ по теореме синусов: $BC = \frac{AC \sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha+\beta)}$.
Подставим значения: $\sin 2\alpha = \frac{336}{625}$, $\cos 2\alpha = \frac{527}{625}$, $\sin \beta = \frac{17}{25}$, $\cos \beta = \frac{24}{25}$.
$\sin(2\alpha+\beta) = \frac{336}{625} \cdot \frac{24}{25} + \frac{527}{625} \cdot \frac{17}{25} = \frac{8064 + 8959}{15625} = \frac{17023}{15625}$.
$BC = \frac{751}{17} \cdot \frac{336}{625} \cdot \frac{15625}{17023} = \dots$
Заметим ошибку в $\cos \beta$. $\sqrt{625-289} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21}$. Значит $\cos \beta = \frac{4\sqrt{21}}{25}$.
Тогда $\text{ctg}(\beta/2) = \frac{25 + 4\sqrt{21}}{17}$.
$AC = 24 + 7 \cdot \frac{25 + 4\sqrt{21}}{17} = \frac{408 + 175 + 28\sqrt{21}}{17} = \frac{583 + 28\sqrt{21}}{17}$.
Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} r \cdot (AB+BC+AC) = 7 \cdot ( \frac{r}{\text{tg} \alpha} + \frac{r}{\text{tg} \beta/2} + \frac{r}{\text{tg} B/2} )$.
Проще: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = AC \cdot h_{AC}$.
Высота $h_{AC} = \frac{2 S_{ABC}}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} AC \cdot BC \sin \beta / \dots}{...}$.
Используем формулу $h_{AC} = \frac{2r \cos(\alpha) \cos(\beta/2)}{\cos(B/2)}$ — нет.
Вернемся к $h = 24$. $S = BC \cdot 24$.
$BC = \frac{r}{\text{tg}(B/2)} + \frac{r}{\text{tg}(\beta/2)}$. Угол $B = 180 - (2\alpha + \beta)$, значит $B/2 = 90 - (\alpha + \beta/2)$.
$\text{tg}(B/2) = \text{ctg}(\alpha + \beta/2)$. Тогда $\frac{1}{\text{tg}(B/2)} = \text{tg}(\alpha + \beta/2)$.
$BC = r (\text{tg}(\alpha + \beta/2) + \text{ctg}(\beta/2))$.
$BC = 7 \cdot (\frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta/2}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta/2} + \frac{1}{\text{tg} \beta/2})$.
Пусть $t = \text{tg} \beta/2$. Тогда $\sin \beta = \frac{2t}{1+t^2} = \frac{17}{25} \implies 17t^2 - 50t + 17 = 0$.
$D = 2500 - 4 \cdot 17^2 = 2500 - 1156 = 1344 = 64 \cdot 21$.
$t = \frac{50 \pm 8\sqrt{21}}{34} = \frac{25 \pm 4\sqrt{21}}{17}$. Так как $\beta$ — угол треугольника, $t < 1$ (если $\beta$ острый), берем $t = \frac{25 - 4\sqrt{21}}{17}$.
Тогда $\text{ctg} \beta/2 = \frac{1}{t} = \frac{17}{25 - 4\sqrt{21}} = \frac{17(25 + 4\sqrt{21})}{625 - 336} = \frac{17(25 + 4\sqrt{21})}{289} = \frac{25 + 4\sqrt{21}}{17}$.
$BC = 7 \cdot (\frac{7/24 + t}{1 - 7/24 \cdot t} + \frac{1}{t}) = 7 \cdot (\frac{7+24t}{24-7t} + \frac{1}{t}) = 7 \cdot \frac{7t + 24t^2 + 24 - 7t}{t(24-7t)} = \frac{7 \cdot 24(t^2+1)}{t(24-7t)}$.
Заметим, что $t^2+1 = \frac{2t}{\sin \beta}$. Тогда $BC = \frac{7 \cdot 24 \cdot 2t}{t(24-7t) \sin \beta} = \frac{336}{(24-7t) \cdot 17/25} = \frac{336 \cdot 25}{17(24 - 7 \cdot \frac{25-4\sqrt{21}}{17})}$.
$24 - \frac{175 - 28\sqrt{21}}{17} = \frac{408 - 175 + 28\sqrt{21}}{17} = \frac{233 + 28\sqrt{21}}{17}$.
Это приводит к иррациональности. Перечитаем условие. Расстояние до $AD$ равно $17$, до $AC$ равно $7$.
Если $O$ — центр вписанной окружности $ABC$, то расстояние до $AB$ тоже $7$.
Пусть $h_a$ — расстояние от $O$ до $AD$. $h_a = 17$. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $7$.
Высота параллелограмма $H = 17 + 7 = 24$.
В $\triangle ABC$, $AO$ — биссектриса. $\sin \angle OAC = 7/25$, $\cos \angle OAC = 24/25$.
Пусть $\angle OAC = \alpha$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha$.
Пусть $\angle CAD = \beta$. Расстояние от $O$ до $AD$ есть $AO \sin \beta = 25 \sin \beta = 17$.
Отсюда $\sin \beta = 17/25$.
Так как $BC \parallel AD$, $\angle BCA = \angle CAD = \beta$.
В $\triangle ABC$: $\angle A = 2\alpha$, $\angle C = \beta$. По теореме синусов: $BC / \sin 2\alpha = AC / \sin(180 - (2\alpha+\beta))$.
Также $r = \frac{AC \sin 2\alpha \sin \beta}{\sin 2\alpha + \sin \beta + \sin(2\alpha+\beta)} = 7$.
Вычислим $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.
$\cos 2\alpha = \frac{24^2 - 7^2}{625} = \frac{527}{625}$.
$\sin \beta = \frac{17}{25}$, $\cos \beta = \sqrt{1 - (17/25)^2} = \sqrt{336}/25 = \frac{4\sqrt{21}}{25}$.
Площадь $S = BC \cdot H = BC \cdot 24$.
Из формулы радиуса: $AC = \frac{7(\sin 2\alpha + \sin \beta + \sin(2\alpha+\beta))}{\sin 2\alpha \sin \beta}$.
$BC = \frac{AC \sin 2\alpha}{\sin(2\alpha+\beta)} = \frac{7(\sin 2\alpha + \sin \beta + \sin(2\alpha+\beta))}{\sin \beta \sin(2\alpha+\beta)} = 7 (\frac{1}{\sin \beta} + \frac{1}{\sin(2\alpha+\beta)} + \frac{\sin 2\alpha}{\sin \beta \sin(2\alpha+\beta)})$.
$BC = 7 (\frac{\sin(2\alpha+\beta) + \sin \beta + \sin 2\alpha}{\sin \beta \sin(2\alpha+\beta)})$.
Используем $\sin(2\alpha+\beta) + \sin \beta = 2 \sin(\alpha+\beta) \cos \alpha$.
Заметим, что $\sin \beta = 17/25$ и $\sin 2\alpha = 336/625$.
Если $\cos \beta = -4\sqrt{21}/25$, то $\sin(2\alpha+\beta)$ может быть другим. Но $O$ внутри, углы острые.
Стоп! В условии $O$ — центр вписанной окружности $ABC$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно $17$.
Но $AD$ может быть "с другой стороны" от $AC$.
Если $ABCD$ — параллелограмм, и $O$ внутри $ABC$, то $O$ и $D$ лежат по разные стороны от $AC$.
Расстояние от $O$ до $AC$ равно $7$. Расстояние от $D$ до $AC$ равно высоте $h_d$ треугольника $ADC$.
Так как $\triangle ABC = \triangle CDA$, высота из $B$ на $AC$ равна высоте из $D$ на $AC$.
Пусть эта высота $H$. Тогда расстояние от $O$ до $AD$ равно $17$.
Координатный метод: $A=(0,0)$. $AC$ по оси $X$. $O = (24, 7)$.
Прямая $AD$ проходит через $(0,0)$, пусть её уравнение $y = kx$, т.е. $kx - y = 0$.
Расстояние от $O(24, 7)$ до $AD$: $\frac{|24k - 7|}{\sqrt{k^2+1}} = 17$.
$(24k - 7)^2 = 289(k^2+1) \implies 576k^2 - 336k + 49 = 289k^2 + 289$.
$287k^2 - 336k - 240 = 0$.
$D/4 = 168^2 + 287 \cdot 240 = 28224 + 68880 = 97104$.
$\sqrt{97104} = 311.6 \dots$ Нет.
Проверим расчет: $24^2 - 17^2 = 576 - 289 = 287$.
Возможно, $AO$ — это не биссектриса угла $A$ параллелограмма, а только треугольника $ABC$. Да.
Вернемся: $\sin \angle OAC = 7/25$, $\sin \angle OAD = 17/25$.
Тогда $\angle CAD = \angle OAD - \angle OAC$ или $\angle CAD = \angle OAD + \angle OAC$.
Случай 1: $\angle CAD = \angle OAD - \angle OAC$.
$\sin \angle CAD = \sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha = \frac{17}{25} \cdot \frac{24}{25} - \frac{\sqrt{25^2-17^2}}{25} \cdot \frac{7}{25} = \frac{408 - 7\sqrt{287}}{625}$. Опять корни.
Случай 2: $\angle CAD = \angle OAD + \angle OAC$.
Но $O$ — центр вписанной окружности $ABC$, значит $AO$ — биссектриса $\angle BAC$.
Значит $\angle BAC = 2 \angle OAC$.
Пусть $\angle OAC = \alpha$. Тогда $\sin \alpha = 7/25, \cos \alpha = 24/25$.
$\angle BAC = 2\alpha$.
Пусть $\angle CAD = \gamma$. Расстояние от $O$ до $AD$ равно $AO \cdot \sin \gamma = 25 \sin \gamma = 17$.
Значит $\sin \gamma = 17/25$.
Тогда $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 2\alpha + \gamma$.
Высота параллелограмма на сторону $AB$ равна $h_{AB} = AD \sin A$.
Расстояние от $O$ до $AB$ равно $7$. Расстояние от $D$ до $AB$ равно $H_{AB}$.
Так как $O$ — центр вписанной окружности $ABC$, расстояние от $O$ до $BC$ равно $7$.
Расстояние от $BC$ до $AD$ равно $H = 7 + 17 = 24$.
$S = AD \cdot H / \sin(\text{угол между ними})$ — нет. $S = AD \cdot 24$.
В $\triangle ABC$, $\angle BCA = \angle CAD = \gamma$ (накрест лежащие).
В $\triangle ABC$: $\angle A = 2\alpha, \angle C = \gamma, \angle B = 180 - (2\alpha+\gamma)$.
По теореме синусов: $BC / \sin 2\alpha = AC / \sin(2\alpha+\gamma)$.
Радиус $r = \frac{BC \sin \gamma \sin(2\alpha+\gamma)}{\sin \gamma + \sin(2\alpha+\gamma) + \sin 2\alpha} = 7$.
Отсюда $BC = \frac{7 (\sin \gamma + \sin(2\alpha+\gamma) + \sin 2\alpha)}{\sin \gamma \sin(2\alpha+\gamma)}$.
Заметим, что $\sin \gamma = 17/25$.
$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}$.
$\cos 2\alpha = \frac{527}{625}$.
$\cos \gamma = \sqrt{1 - (17/25)^2} = \frac{\sqrt{287}}{25}$.
Если $\sqrt{287}$ не извлекается, возможно $\angle CAD = \angle BAC - \angle OAC = \alpha$? Нет.
Посмотрим еще раз: расстояние от $O$ до $AD$ равно $17$.
Если $AD \parallel BC$, и расстояние от $O$ до $BC$ равно $7$, то высота $H = 17+7=24$ или $H = 17-7=10$.
Если $H=24$, то $S = BC \cdot 24$.
Если $BC$ и $AD$ по одну сторону от $O$, то $H=10$. Но $O$ внутри $ABC$, значит $BC$ и $AD$ по разные стороны от $O$. Значит $H=24$.
Может быть $\angle OAD$ и $\angle OAC$ — это углы? Нет, расстояния.
Стоп! Расстояние от $O$ до $AC$ равно $7$. $AO = 25$.
В $\triangle OAC$, высота из $O$ на $AC$ равна $7$.
В $\triangle OAD$, высота из $O$ на $AD$ равна $17$.
Пусть $\angle OAC = \alpha$ и $\angle OAD = \beta$.
$\sin \alpha = 7/25, \sin \beta = 17/25$.
Тогда $\angle CAD = \beta - \alpha$ (так как $O$ внутри $ABC$, $AD$ снаружи).
$\cos \alpha = 24/25$, $\cos \beta = \sqrt{25^2-17^2}/25 = \sqrt{336}/25$. Опять $\sqrt{336}$.
А если $\angle CAD = \alpha + \beta$?
Попробуем другой подход. $S = p \cdot r$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot H_{BC}$.
Высота из $A$ на $BC$ равна $24$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot 24 = 12 BC$.
$p \cdot 7 = 12 BC \implies \frac{AB+BC+AC}{2} \cdot 7 = 12 BC \implies 7(AB+AC) = 17 BC$.
По теореме синусов в $\triangle ABC$: $AB = BC \frac{\sin \gamma}{\sin 2\alpha}$, $AC = BC \frac{\sin(2\alpha+\gamma)}{\sin 2\alpha}$.
$7 (\frac{\sin \gamma + \sin(2\alpha+\gamma)}{\sin 2\alpha}) = 17$.
$7 \cdot \frac{2 \sin(\alpha+\gamma) \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = 17 \implies 7 \frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\sin \alpha} = 17$.
$\sin(\alpha+\gamma) = \frac{17 \sin \alpha}{7} = \frac{17 \cdot (7/25)}{7} = \frac{17}{25}$.
Мы получили $\sin(\alpha+\gamma) = 17/25$.
Но мы знаем, что $\sin \beta = 17/25$. Значит $\alpha + \gamma = \beta$ или $\alpha + \gamma = 180 - \beta$.
Так как углы острые, $\gamma = \beta - \alpha$.
Это в точности подтверждает, что $\angle CAD = \angle OAD - \angle OAC$.
Теперь найдем $BC$. Из $7(AB+AC) = 17 BC$:
$AB = \frac{r}{\text{tg} \alpha} + \frac{r}{\text{tg} B/2} = 24 + 7 \text{ctg} B/2$.
$AC = \frac{r}{\text{tg} \alpha} + \frac{r}{\text{tg} \gamma/2} = 24 + 7 \text{ctg} \gamma/2$.
$BC = \frac{r}{\text{tg} B/2} + \frac{r}{\text{tg} \gamma/2} = 7(\text{ctg} B/2 + \text{ctg} \gamma/2)$.
Подставим: $7(48 + 7(\text{ctg} B/2 + \text{ctg} \gamma/2)) = 17 \cdot 7(\text{ctg} B/2 + \text{ctg} \gamma/2)$.
$48 + BC = \frac{17}{7} BC \implies 48 = \frac{10}{7} BC \implies BC = \frac{48 \cdot 7}{10} = \frac{336}{10} = 33,6$.
Площадь параллелограмма $S = BC \cdot H = 33,6 \cdot 24$.
$33,6 \cdot 24 = 806,4$.

Ответ: 806,4

Источник: ФИПИ