Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть окружность проходит через точки $M$ и $N$, лежащие на стороне $AC$, и касается луча $AB$ в некоторой точке $K$. По условию задачи $AM = 16$, $AN = 39$. Точки лежат на одной прямой $AC$, выходящей из вершины $A$.

2. Воспользуемся теоремой о квадрате касательной: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае:
$AK^2 = AM \cdot AN$
Подставим значения: $AK^2 = 16 \cdot 39$.
Отсюда $AK = \sqrt{16 \cdot 39} = 4\sqrt{39}$.

3. Рассмотрим треугольник $AMK$. Нам известны две его стороны $AM = 16$, $AK = 4\sqrt{39}$ и косинус угла между ними $\cos \angle K AM = \frac{\sqrt{39}}{8}$. Найдем сторону $MK$ по теореме косинусов:
$MK^2 = AM^2 + AK^2 - 2 \cdot AM \cdot AK \cdot \cos \angle A$
$MK^2 = 16^2 + (4\sqrt{39})^2 - 2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt{39} \cdot \frac{\sqrt{39}}{8}$
$MK^2 = 256 + 16 \cdot 39 - 16 \cdot \sqrt{39} \cdot \sqrt{39}$
$MK^2 = 256 + 624 - 16 \cdot 39 = 256 + 624 - 624 = 256$
Следовательно, $MK = \sqrt{256} = 16$.

4. Заметим, что в треугольнике $AMK$ стороны $AM = 16$ и $MK = 16$, значит, треугольник $AMK$ — равнобедренный. Углы при основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Обозначим этот угол $\alpha$. Тогда $\cos \alpha = \frac{\sqrt{39}}{8}$.

5. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $AK$ и хордой $KN$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. То есть $\angle AKN = \angle KMN$.
В треугольнике $AKN$ нам известны стороны $AK = 4\sqrt{39}$, $AN = 39$ и $\cos \angle A = \frac{\sqrt{39}}{8}$. Найдем сторону $KN$ по теореме косинусов:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos \angle A$
$KN^2 = (4\sqrt{39})^2 + 39^2 - 2 \cdot 4\sqrt{39} \cdot 39 \cdot \frac{\sqrt{39}}{8}$
$KN^2 = 624 + 1521 - 39 \cdot 39 = 624 + 1521 - 1521 = 624$
$KN = \sqrt{624} = \sqrt{16 \cdot 39} = 4\sqrt{39}$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $MKN$, вписанный в искомую окружность. Его стороны: $MN = AN - AM = 39 - 16 = 23$, $MK = 16$, $KN = 4\sqrt{39}$.
Найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $MKN$ по формуле $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$ или через теорему синусов $R = \frac{KN}{2 \sin \angle KMN}$.
Угол $\angle KMN$ является внешним углом равнобедренного треугольника $AMK$, либо его можно найти через теорему косинусов в $\triangle MKN$.
Найдем $\cos \angle KMN$ из $\triangle MKN$:
$KN^2 = MK^2 + MN^2 - 2 \cdot MK \cdot MN \cdot \cos \angle KMN$
$624 = 16^2 + 23^2 - 2 \cdot 16 \cdot 23 \cdot \cos \angle KMN$
$624 = 256 + 529 - 736 \cdot \cos \angle KMN$
$624 = 785 - 736 \cdot \cos \angle KMN$
$736 \cdot \cos \angle KMN = 161$
$\cos \angle KMN = \frac{161}{736} = \frac{7}{32}$.

7. Найдем $\sin \angle KMN$:
$\sin \angle KMN = \sqrt{1 - (\frac{7}{32})^2} = \sqrt{\frac{1024 - 49}{1024}} = \frac{\sqrt{975}}{32} = \frac{5\sqrt{39}}{32}$.

8. Вычислим радиус $R$:
$R = \frac{KN}{2 \sin \angle KMN} = \frac{4\sqrt{39}}{2 \cdot \frac{5\sqrt{39}}{32}} = \frac{4\sqrt{39} \cdot 32}{10\sqrt{39}} = \frac{128}{10} = 12,8$.

Ответ: 12,8

Источник: ФИПИ