Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Проведём касательную $AK$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус $AO$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $AK$. Таким образом, $AO \perp AK$.

2) По условию задачи прямая $BD$ также перпендикулярна прямой $AO$. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $BD \parallel AK$.

3) Рассмотрим угол между касательной $AK$ и хордой $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую стягивает хорда, то есть $\angle KAB = \frac{1}{2} \cup AB$. С другой стороны, вписанный угол $ACB$ (или $\angle C$) также опирается на дугу $AB$, значит, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB$. Отсюда следует, что $\angle KAB = \angle ACB$.

4) Так как $BD \parallel AK$, то накрест лежащие углы при пересечении этих прямых секущей $AB$ равны: $\angle KAB = \angle ABD$. Объединяя это с результатом предыдущего шага, получаем: $\angle ABD = \angle ACB$.

5) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACB$. У них:
— угол $A$ — общий;
— $\angle ABD = \angle ACB$ (доказано выше).
Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB}$.
Подставим известные значения сторон $AB = 30$ и $AC = 100$:
$\frac{30}{100} = \frac{AD}{30}$.
Выразим $AD$:
$AD = \frac{30 \cdot 30}{100} = \frac{900}{100} = 9$.

7) Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $CD$. Чтобы найти $CD$, нужно из длины всей стороны $AC$ вычесть длину найденного отрезка $AD$:
$CD = AC - AD = 100 - 9 = 91$.

Ответ: 91

Источник: ФИПИ