Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 14$ , $B C = 7$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ . Поскольку $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то прямая $AB$ также перпендикулярна основанию $AD$ . Таким образом, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$ .

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ (по двум углам) следует отношение их сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ .
Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $KD$ , то есть $KC = CD$ .

3) По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
$KE^2 = KC \cdot KD$ .
Так как $KD = 2 \cdot KC$ , получаем:
$KE^2 = KC \cdot (2 \cdot KC) = 2 \cdot KC^2$ .
Отсюда $KE = KC \cdot \sqrt{2}$ .

4) Пусть $h$ — искомое расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ . Это перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на гипотенузу (или её продолжение) в треугольнике $KEC$ .
Рассмотрим треугольник $KEC$ . В нём угол $K$ — это тот же угол, что и в прямоугольном треугольнике $KBC$ .
Из треугольника $KBC$ : $\sin \angle K = \frac{BC}{KC} = \frac{7}{KC}$ .
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$ из точки $E$ к прямой $CD$ :
$h = KE \cdot \sin \angle K$ .

5) Подставим известные значения в формулу для $h$ :
$h = (KC \cdot \sqrt{2}) \cdot \frac{7}{KC}$ .
Отрезок $KC$ сокращается, и мы получаем:
$h = 7\sqrt{2}$ .

Ответ: $7\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ