Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Поскольку $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то прямая $AB$ также перпендикулярна основанию $AD$. Таким образом, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$.

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ (по двум углам) следует отношение их сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $KD$, то есть $KC = CD$.

3) По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
$KE^2 = KC \cdot KD$.
Так как $KD = 2 \cdot KC$, получаем:
$KE^2 = KC \cdot (2 \cdot KC) = 2 \cdot KC^2$.
Отсюда $KE = KC \cdot \sqrt{2}$.

4) Пусть $h$ — искомое расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Это перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на гипотенузу (или её продолжение) в треугольнике $KEC$.
Рассмотрим треугольник $KEC$. В нём угол $K$ — это тот же угол, что и в прямоугольном треугольнике $KBC$.
Из треугольника $KBC$: $\sin \angle K = \frac{BC}{KC} = \frac{7}{KC}$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$ из точки $E$ к прямой $CD$:
$h = KE \cdot \sin \angle K$.

5) Подставим известные значения в формулу для $h$:
$h = (KC \cdot \sqrt{2}) \cdot \frac{7}{KC}$.
Отрезок $KC$ сокращается, и мы получаем:
$h = 7\sqrt{2}$.

Ответ: $7\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ