Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x^2 - 2x \neq 0$
$x(x - 2) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Значит, область определения функции — все числа, кроме $0$ и $2$.

2. Упростим выражение функции на её области определения. Разложим знаменатель на множители и сократим дробь:
$y = -5 - \frac{x - 2}{x(x - 2)}$
Так как $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$y = -5 - \frac{1}{x}$

3. Графиком функции $y = -5 - \frac{1}{x}$ является гипербола, полученная из гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вниз на $5$ единиц. Асимптотами этой гиперболы являются прямые $x = 0$ (ось ординат) и $y = -5$.
Важно помнить, что из графика нужно исключить точку с абсциссой $x = 2$.
Найдём ординату этой «выколотой» точки:
Если $x = 2$, то $y = -5 - \frac{1}{2} = -5,5$.
Таким образом, точка $(2; -5,5)$ будет пустой (выколотой) на графике.

4. Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ (горизонтальная прямая) не имеет с графиком общих точек:
— Во-первых, прямая не пересекает гиперболу, если она совпадает с её горизонтальной асимптотой. В нашем случае это прямая $y = -5$. Значит, $m = -5$.
— Во-вторых, прямая не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через «выколотую» точку $(2; -5,5)$. Это происходит при $m = -5,5$.
Других исключительных случаев нет, так как при любых других значениях $m$ горизонтальная прямая пересекает одну из ветвей гиперболы.

Ответ: -5,5; -5

Источник: ФИПИ