Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на биссектрисе $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2) Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3) В равнобедренном треугольнике $ABD$ биссектриса $BO$ является также и медианой, поэтому точка $O$ — середина $AD$. Так как длина $AD = 8$, то $AO = OD = 8 : 2 = 4$.

4) Из прямоугольного треугольника $AOB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2$. Пусть $BO = y$. Тогда $x^2 = 4^2 + y^2$, то есть $x^2 = 16 + y^2$. Так как $BE = 8$, то $OE = 8 - y$.

5) Рассмотрим треугольник $ADC$. Проведём через точку $D$ прямую $DK$, параллельную $BE$ ($K$ лежит на $AC$). По теореме Фалеса для угла $C$, так как $D$ — середина $BC$, то $K$ — середина $EC$. Значит, $DK$ — средняя линия треугольника $BCE$, отсюда $DK = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

6) В треугольнике $ADK$ отрезок $OE$ параллелен $DK$ (так как $BE \parallel DK$). По теореме о подобных треугольниках (или по теореме Фалеса): $\frac{AE}{AK} = \frac{AO}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Значит, $E$ — середина $AK$. Тогда $AE = EK$. Ранее мы выяснили, что $K$ — середина $EC$, то есть $EK = KC$. Получаем, что $AE = EK = KC$, следовательно, $AC = 3 \cdot AE$.

7) В треугольнике $ADK$ отрезок $OE$ является средней линией, так как $O$ — середина $AD$ и $OE \parallel DK$. Тогда $OE = \frac{1}{2} DK = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Так как $BE = 8$, то $BO = BE - OE = 8 - 2 = 6$.

8) Теперь найдём стороны:
Из треугольника $AOB$: $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 4\sqrt{13}$.
Из треугольника $AOE$: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{13}$; $4\sqrt{13}$; $6\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ