Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка касания окружности с лучом $AB$. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат расстояния от точки $A$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей:
$AK^2 = AM \cdot AN$.
По условию $AM = 24$, $AN = 42$. Подставим значения:
$AK^2 = 24 \cdot 42 = 24 \cdot (6 \cdot 7) = 144 \cdot 7$.
Отсюда $AK = \sqrt{144 \cdot 7} = 12\sqrt{7}$.

2) Рассмотрим треугольник $AKM$. В нём известны две стороны $AK = 12\sqrt{7}$, $AM = 24$ и косинус угла между ними $\cos \angle A = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Найдем сторону $MK$ по теореме косинусов:
$MK^2 = AK^2 + AM^2 - 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos \angle A$;
$MK^2 = (12\sqrt{7})^2 + 24^2 - 2 \cdot 12\sqrt{7} \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}$;
$MK^2 = 144 \cdot 7 + 576 - 2 \cdot 12 \cdot 6 \cdot 7$;
$MK^2 = 1008 + 576 - 1008 = 576$.
Следовательно, $MK = \sqrt{576} = 24$.

3) Заметим, что в треугольнике $AKM$ стороны $AM = 24$ и $MK = 24$, значит, треугольник $AKM$ — равнобедренный. Углы при основании $AK$ равны: $\angle MAK = \angle MKA$.
Пусть $\angle BAC = \alpha$. Тогда $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Найдем $\sin \alpha$ через основное тригонометрическое тождество:
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

4) По свойству угла между касательной $AK$ и хордой $KM$, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $KM$. Пусть $L$ — любая точка окружности, лежащая по ту же сторону от $MN$, что и точка $K$. Тогда $\angle KNM = \angle AKM$.
Так как $\triangle AKM$ равнобедренный, $\angle AKM = \angle MAK = \alpha$.
Значит, в треугольнике $MKN$ угол $\angle KNM = \alpha$.

5) В треугольнике $MKN$ нам известна сторона $MK = 24$ и синус противолежащего ей угла $\angle KNM = \alpha$. По теореме синусов радиус $R$ описанной около треугольника $MKN$ окружности (которая и является искомой) равен:
$2R = \frac{MK}{\sin \angle KNM}$;
$2R = \frac{24}{\sin \alpha} = \frac{24}{3/4} = 24 \cdot \frac{4}{3} = 32$.
Отсюда $R = \frac{32}{2} = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ