Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $\angle A$ и $\angle D$ — углы при основании $AD$ трапеции $ABCD$. По условию $\angle A + \angle D = 90^\circ$. Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$. Рассмотрим треугольник $AED$. Сумма его углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, следовательно, третий угол $\angle E = 180^\circ - (\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $AED$ — прямоугольный.

2. Поскольку $BC \parallel AD$, треугольники $BEC$ и $AED$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k$ равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AE$, а точка $C$ — серединой отрезка $DE$. Следовательно, $BE = AB = 13$, а $AE = AB + BE = 13 + 13 = 26$.

3. Пусть окружность проходит через точки $A$ и $B$ и касается прямой $CD$ в точке $K$. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $E$ к окружности: квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае: $EK^2 = EA \cdot EB$. Подставим известные значения: $EK^2 = 26 \cdot 13 = 2 \cdot 13 \cdot 13 = 2 \cdot 13^2$. Отсюда $EK = 13\sqrt{2}$.

4. Введем систему координат с началом в точке $E$, направив ось $Ox$ вдоль катета $ED$, а ось $Oy$ вдоль катета $EA$. Тогда координаты точек будут следующими: $E(0; 0)$, $B(0; 13)$, $A(0; 26)$. Точка касания $K$ лежит на прямой $ED$ (ось $Ox$), так как прямая $CD$ совпадает с прямой $ED$. Поскольку $EK = 13\sqrt{2}$, координата точки $K$ равна $(13\sqrt{2}; 0)$.

5. Пусть центр искомой окружности имеет координаты $O(x_0; y_0)$. Так как окружность проходит через точки $A(0; 26)$ и $B(0; 13)$, её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Координата $y_0$ центра равна середине отрезка $[13; 26]$: $y_0 = \frac{13 + 26}{2} = 19,5$. Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра $O(x_0; 19,5)$ до точки $A(0; 26)$: $R^2 = x_0^2 + (26 - 19,5)^2 = x_0^2 + 6,5^2$.

6. Также радиус — это расстояние от центра $O(x_0; 19,5)$ до точки касания $K(13\sqrt{2}; 0)$. Поскольку прямая $CD$ (ось $Ox$) является касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей. Значит, $R$ равен модулю ординаты центра $O$, если бы касательная была параллельна оси $Ox$. Но в нашей системе касательная — это сама ось $Ox$, поэтому $R = |y_0 - 0| = 19,5$. Проверим это: расстояние $OK$ должно быть равно $R$. $R^2 = (x_0 - 13\sqrt{2})^2 + (19,5 - 0)^2$.

7. Заметим, что радиус, проведенный в точку касания $K$, перпендикулярен прямой $ED$. Так как $ED$ лежит на оси $Ox$, радиус $OK$ параллелен оси $Oy$. Это означает, что абсцисса центра $x_0$ совпадает с абсциссой точки $K$, то есть $x_0 = 13\sqrt{2}$. Теперь найдем радиус $R$ как расстояние от $O(13\sqrt{2}; 19,5)$ до точки $A(0; 26)$:
$R^2 = (13\sqrt{2} - 0)^2 + (19,5 - 26)^2 = (13\sqrt{2})^2 + (-6,5)^2$
$R^2 = 169 \cdot 2 + 42,25 = 338 + 42,25 = 380,25$
$R = \sqrt{380,25} = 19,5$.

Ответ: 19,5

Источник: ФИПИ