Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы построить её график, рассмотрим каждую часть на соответствующем промежутке.

1) Первая часть функции: $y = x^{2} + 1$ при $x \geq -1$.
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$.
Найдём контрольные точки для построения:
Если $x = -1$, то $y = (-1)^{2} + 1 = 2$. Точка $(-1; 2)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое.
Если $x = 0$, то $y = 1$.
Если $x = 1$, то $y = 1^{2} + 1 = 2$.
Если $x = 2$, то $y = 2^{2} + 1 = 5$.

2) Вторая часть функции: $y = -\frac{4}{x}$ при $x < -1$.
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$).
Найдём контрольные точки:
Если $x \to -1$ (слева), то $y \to -\frac{4}{-1} = 4$. Точка $(-1; 4)$ выколотая, так как неравенство строгое.
Если $x = -2$, то $y = -\frac{4}{-2} = 2$.
Если $x = -4$, то $y = -\frac{4}{-4} = 1$.
При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $0$, но никогда не достигают его (ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой).

3) Исследуем количество точек пересечения с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Будем мысленно перемещать её снизу вверх (от $-\infty$ до $+\infty$):
— При $m \leq 0$: прямая не имеет общих точек с гиперболой (она выше оси $Ox$) и не имеет точек с параболой (её минимум в $y = 1$). Общих точек нет.
— При $0 < m < 1$: прямая пересекает только ветвь гиперболы. Одна общая точка.
— При $m = 1$: прямая пересекает гиперболу и касается вершины параболы в точке $(0; 1)$. Две общие точки.
— При $1 < m < 2$: прямая пересекает гиперболу и параболу в двух местах. Три общие точки.
— При $m = 2$: прямая пересекает гиперболу, проходит через "стык" параболы $(-1; 2)$ и пересекает правую ветвь параболы. Три общие точки.
— При $2 < m < 4$: прямая пересекает гиперболу и правую ветвь параболы. Две общие точки.
— При $m = 4$: прямая проходит через выколотую точку гиперболы $(-1; 4)$ и пересекает правую ветвь параболы. Одна общая точка.
— При $m > 4$: прямая пересекает только правую ветвь параболы. Одна общая точка.

Таким образом, ровно одна общая точка наблюдается при $0 < m < 1$ и при $m \geq 4$.

Ответ: $0 < m < 1$; $m \geq 4$

Источник: ФИПИ