Задание №22 — Алгебраические выражения

#48504Задание №22ФИПИ

Функции и графики

Постройте график функции

$\left\{\begin{array}{l} y = \begin{matrix}x^{2} + 1 \\ - \frac{4}{x}\end{matrix} & \begin{matrix}\text{ при } \\ \text{ при } \begin{matrix} \\ \end{matrix}\end{matrix} & \begin{matrix}x \geq - 1, \\ x < - 1. \begin{matrix} \\ \end{matrix}\end{matrix} \end{array}\right.$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы построить её график, рассмотрим каждую часть на соответствующем промежутке.

1) Первая часть функции: $y = x^{2} + 1$ при $x \geq -1$ .
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$ .
Найдём контрольные точки для построения:
Если $x = -1$ , то $y = (-1)^{2} + 1 = 2$ . Точка $(-1; 2)$ закрашенная, так как неравенство нестрогое.
Если $x = 0$ , то $y = 1$ .
Если $x = 1$ , то $y = 1^{2} + 1 = 2$ .
Если $x = 2$ , то $y = 2^{2} + 1 = 5$ .

2) Вторая часть функции: $y = -\frac{4}{x}$ при $x < -1$ .
Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$ ).
Найдём контрольные точки:
Если $x \to -1$ (слева), то $y \to -\frac{4}{-1} = 4$ . Точка $(-1; 4)$ выколотая, так как неравенство строгое.
Если $x = -2$ , то $y = -\frac{4}{-2} = 2$ .
Если $x = -4$ , то $y = -\frac{4}{-4} = 1$ .
При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $0$ , но никогда не достигают его (ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой).

3) Исследуем количество точек пересечения с прямой $y = m$ .
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Будем мысленно перемещать её снизу вверх (от $-\infty$ до $+\infty$ ):
— При $m \leq 0$ : прямая не имеет общих точек с гиперболой (она выше оси $Ox$ ) и не имеет точек с параболой (её минимум в $y = 1$ ). Общих точек нет.
— При $0 < m < 1$ : прямая пересекает только ветвь гиперболы. Одна общая точка.
— При $m = 1$ : прямая пересекает гиперболу и касается вершины параболы в точке $(0; 1)$ . Две общие точки.
— При $1 < m < 2$ : прямая пересекает гиперболу и параболу в двух местах. Три общие точки.
— При $m = 2$ : прямая пересекает гиперболу, проходит через "стык" параболы $(-1; 2)$ и пересекает правую ветвь параболы. Три общие точки.
— При $2 < m < 4$ : прямая пересекает гиперболу и правую ветвь параболы. Две общие точки.
— При $m = 4$ : прямая проходит через выколотую точку гиперболы $(-1; 4)$ и пересекает правую ветвь параболы. Одна общая точка.
— При $m > 4$ : прямая пересекает только правую ветвь параболы. Одна общая точка.

Таким образом, ровно одна общая точка наблюдается при $0 < m < 1$ и при $m \geq 4$ .

Ответ: $0 < m < 1$ ; $m \geq 4$

Источник: ФИПИ