Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на биссектрисе $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2. Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3. В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 44 = 22$.

4. Рассмотрим треугольник $BCE$. В нём отрезок $CD$ равен $DB$, то есть $D$ — середина $BC$. Проведём через точку $D$ прямую $DF$, параллельную $BE$ (где $F$ лежит на $AC$). По теореме Фалеса для угла $C$, так как $D$ — середина $BC$, то $F$ — середина $EC$. Значит, $DF$ — средняя линия треугольника $BCE$, и $DF = \frac{1}{2} BE = \frac{1}{2} \cdot 44 = 22$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ADF$. В нём отрезок $OE$ параллелен $DF$ (так как $BE \parallel DF$). По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $AOE$ и $ADF$): $\frac{AE}{AF} = \frac{AO}{AD} = \frac{22}{44} = \frac{1}{2}$. Значит, $E$ — середина $AF$. Таким образом, $AE = EF$. Ранее мы выяснили, что $F$ — середина $EC$, то есть $EF = FC$. Получаем, что $AE = EF = FC$, следовательно, $AC = 3 \cdot AE$.

6. Из подобия треугольников $AOE$ и $ADF$ также следует, что $OE = \frac{1}{2} DF = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11$. Тогда $BO = BE - OE = 44 - 11 = 33$.

7. В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём $AB$:
$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 22^2 + 33^2 = (2 \cdot 11)^2 + (3 \cdot 11)^2 = 4 \cdot 121 + 9 \cdot 121 = 13 \cdot 121$.
$AB = \sqrt{121 \cdot 13} = 11\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 22\sqrt{13}$.

8. В прямоугольном треугольнике $AOE$ по теореме Пифагора найдём $AE$:
$AE^2 = AO^2 + OE^2 = 22^2 + 11^2 = (2 \cdot 11)^2 + 11^2 = 4 \cdot 121 + 121 = 5 \cdot 121$.
$AE = \sqrt{121 \cdot 5} = 11\sqrt{5}$.
Тогда $AC = 3 \cdot AE = 33\sqrt{5}$.

Ответ: $11\sqrt{13}$, $22\sqrt{13}$, $33\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ