Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$. Так как $AD \parallel BC$, то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$.
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$. Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$:
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH_1$ — перпендикуляр к стороне $AB$, $KH_2$ — перпендикуляр к стороне $BC$, а $KH_3$ — перпендикуляр к стороне $AD$.
По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 4, то есть $KH_1 = 4$.

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$: $KH_2 = KH_1 = 4$.
Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$: $KH_3 = KH_1 = 4$.

5) Высота параллелограмма $h$, проведённая к стороне $BC$ (или $AD$), равна сумме перпендикуляров $KH_2$ и $KH_3$, так как точки $H_2$, $K$ и $H_3$ лежат на одной прямой (эта прямая перпендикулярна параллельным прямым $BC$ и $AD$).
Следовательно, $h = KH_2 + KH_3 = 4 + 4 = 8$.

6) Площадь параллелограмма $S$ находится по формуле произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:
$S = BC \cdot h$.
Подставим известные значения: $S = 7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ