Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность с центром на стороне A C треугольника A B C проходит через вершину C и касается прямой A B в точке B . Найдите A C , если диаметр окружност…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Окружность и круг
Задание №25
№25
Окружность пересекает стороны A B и A C треугольника A B C в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C . Найдите длину отрезка K P ,…
Треугольник
Задание №25
№25
На стороне B C остроугольного треугольника A B C как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту A D в точке M , A D = 9 , M D = 6 , H —…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В трапеции A B C D боковая сторона A B перпендикулярна основанию B C . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой A B в точке E . Найдите…
Окружность и круг
Задание №25
№25
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 7$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 4.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ . Так как $AD \parallel BC$ , то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$ . Следовательно, их сумма равна $180^\circ$ : $\angle A + \angle B = 180^\circ$ .

2) По условию $AK$ и $BK$ — биссектрисы этих углов. Значит, $\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$ .
Сумма углов в треугольнике $ABK$ равна $180^\circ$ . Найдём сумму углов $KAB$ и $KBA$ :
$\angle KAB + \angle KBA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$ .
Отсюда следует, что $\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ , то есть треугольник $ABK$ — прямоугольный.

3) Проведём через точку $K$ перпендикуляры к сторонам параллелограмма. Пусть $KH_1$ — перпендикуляр к стороне $AB$ , $KH_2$ — перпендикуляр к стороне $BC$ , а $KH_3$ — перпендикуляр к стороне $AD$ .
По условию расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 4, то есть $KH_1 = 4$ .

4) Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$ . Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Значит, расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $BC$ : $KH_2 = KH_1 = 4$ .
Аналогично, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$ , поэтому расстояние от $K$ до $AB$ равно расстоянию от $K$ до $AD$ : $KH_3 = KH_1 = 4$ .

5) Высота параллелограмма $h$ , проведённая к стороне $BC$ (или $AD$ ), равна сумме перпендикуляров $KH_2$ и $KH_3$ , так как точки $H_2$ , $K$ и $H_3$ лежат на одной прямой (эта прямая перпендикулярна параллельным прямым $BC$ и $AD$ ).
Следовательно, $h = KH_2 + KH_3 = 4 + 4 = 8$ .

6) Площадь параллелограмма $S$ находится по формуле произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:
$S = BC \cdot h$ .
Подставим известные значения: $S = 7 \cdot 8 = 56$ .

Ответ: 56

Источник: ФИПИ