Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. По условию точка $M$ является серединой стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин четырёхугольника $ABCD$. Это означает, что $MA = MB = MC = MD$.

2. Так как расстояния от точки $M$ до всех вершин равны, точка $M$ является центром окружности, описанной около данного четырёхугольника. При этом отрезок $AD$ является диаметром этой окружности, так как $M$ — его середина и $MA = MD = R$, где $R$ — радиус окружности.

3. Любой четырёхугольник, около которого можно описать окружность, обладает свойством: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

4. Из этих равенств найдём углы $A$ и $D$:
$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$
$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$

5. Рассмотрим треугольник $BMC$. В нём стороны $MB$ и $MC$ равны радиусу окружности ($MB = MC = R$), значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный. Чтобы найти его углы, сначала найдём углы при основании $AB$ и $CD$ в треугольниках $AMB$ и $DMC$.

6. Треугольник $AMB$ — равнобедренный ($MA = MB = R$), поэтому $\angle MBA = \angle A = 65^\circ$.
Тогда $\angle MBC = \angle B - \angle MBA = 95^\circ - 65^\circ = 30^\circ$.

7. Аналогично, треугольник $DMC$ — равнобедренный ($MD = MC = R$), поэтому $\angle MCD = \angle D = 85^\circ$.
Тогда $\angle MCB = \angle C - \angle MCD = 115^\circ - 85^\circ = 30^\circ$.

8. В треугольнике $BMC$ сумма углов равна $180^\circ$. Найдём центральный угол $BMC$:
$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

9. Применим теорему косинусов для треугольника $BMC$, чтобы найти радиус $R$:
$BC^2 = MB^2 + MC^2 - 2 \cdot MB \cdot MC \cdot \cos(\angle BMC)$
$19^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем:
$361 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-0,5)$
$361 = 2R^2 + R^2$
$361 = 3R^2$
$R^2 = \frac{361}{3}$
$R = \frac{19}{\sqrt{3}}$

10. Сторона $AD$ является диаметром окружности, то есть $AD = 2R$:
$AD = 2 \cdot \frac{19}{\sqrt{3}} = \frac{38}{\sqrt{3}} = \frac{38\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{38\sqrt{3}}{3}$

Источник: ФИПИ