Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$-2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Это значит, что на графике будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -2$.

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в знаменателе можно вынести минус за скобки: $-2 - x = -(x + 2)$.
Тогда функция примет вид:
$y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-(x + 2)}$.
Сократим дробь на $(x + 2)$, учитывая условие $x \neq -2$:
$y = -(x^2 + 1)$ или $y = -x^2 - 1$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y = -x^2 - 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$.
Найдём координаты «выколотой» точки: подставим $x = -2$ в упрощённое уравнение:
$y = -(-2)^2 - 1 = -4 - 1 = -5$.
Таким образом, точка $(-2; -5)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти значения $k$, при которых эта прямая имеет с параболой (с учётом выколотой точки) ровно одну общую точку.
Это возможно в двух случаях:

Случай А: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $-x^2 - 1 = kx$ должно иметь ровно одно решение.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 1 = 0$.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$.
$k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2$ или $k = -2$.

Случай Б: Прямая проходит через «выколотую» точку $(-2; -5)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них исключена из области определения, поэтому общая точка остаётся одна.
Подставим координаты точки $(-2; -5)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-5 = k \cdot (-2)$
$k = \frac{-5}{-2} = 2,5$.

5. Проверка.
При $k = 2$ точка касания: $x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Это значение входит в область определения ($-1 \neq -2$).
При $k = -2$ точка касания: $x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Это значение входит в область определения ($1 \neq -2$).
При $k = 2,5$ одна точка пересечения «выколота», а вторая находится из уравнения $-x^2 - 1 = 2,5x \Rightarrow x^2 + 2,5x + 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x = -2$ (выколота) и $x = -0,5$. Значит, общая точка действительно одна.

Ответ: -2; 2; 2,5.

Источник: ФИПИ