Задание №25 — Геометрия

#48511Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ $—$ на второй. При этом $A C$
и $B D$ $—$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 22$ , а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 99$ . Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 99 + 22 = 121$ .

2) Рассмотрим общую касательную $AC$ . Точки $A$ и $C$ — точки касания, поэтому радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$ . Следовательно, $O_1A \parallel O_2C$ , и фигура $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3) Проведём из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1H$ к радиусу $O_2C$ . Тогда $O_1HCA$ — прямоугольник, значит $AC = O_1H$ . В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ катет $O_2H = O_2C - HC = R - r = 99 - 22 = 77$ . По теореме Пифагора:
$O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2 = 121^2 - 77^2 = (121 - 77)(121 + 77) = 44 \cdot 198 = 44 \cdot 2 \cdot 99 = 88 \cdot 99 = 8 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11 = 11^2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 = 11^2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 4 = (11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2)^2 = 132^2$ .
Следовательно, $AC = 132$ . Аналогично $BD = 132$ .

4) Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как $AC = BD$ и она симметрична относительно линии центров $O_1O_2$ . Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$ , так как хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно этой линии. Значит, расстояние между $AB$ и $CD$ — это длина отрезка линии центров, заключённого между этими хордами.

5) Пусть линия центров пересекает $AB$ в точке $M$ , а $CD$ в точке $N$ . Нам нужно найти длину $MN$ . Рассмотрим треугольник $O_1AC$ . В прямоугольной трапеции $O_1ACO_2$ отрезок $AM$ — это высота из вершины $A$ на основание $O_1O_2$ .
В треугольнике $O_1HO_2$ синус угла $\alpha = \angle O_1O_2H$ равен $\sin \alpha = \frac{O_1H}{O_1O_2} = \frac{132}{121} = \frac{12}{11}$ (это невозможно, так как синус не больше 1, пересчитаем через косинус).
$\cos \alpha = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{77}{121} = \frac{7}{11}$ .
Угол $\angle AO_1M$ равен углу $\alpha$ , так как $O_1A \parallel O_2C$ . Тогда в прямоугольном треугольнике $O_1MA$ :
$O_1M = O_1A \cdot \cos \alpha = 22 \cdot \frac{7}{11} = 14$ .

6) Аналогично в прямоугольном треугольнике $O_2NC$ :
$O_2N = O_2C \cdot \cos \alpha = 99 \cdot \frac{7}{11} = 63$ .

7) Расстояние $MN = O_1O_2 - O_1M - O_2N = 121 - 14 - 63 = 121 - 77 = 44$ .

Ответ: 44

Источник: ФИПИ