Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $r = 22$, а $O_2$ — центр окружности радиуса $R = 99$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 99 + 22 = 121$.

2) Рассмотрим общую касательную $AC$. Точки $A$ и $C$ — точки касания, поэтому радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$. Следовательно, $O_1A \parallel O_2C$, и фигура $O_1ACO_2$ является прямоугольной трапецией.

3) Проведём из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1H$ к радиусу $O_2C$. Тогда $O_1HCA$ — прямоугольник, значит $AC = O_1H$. В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ катет $O_2H = O_2C - HC = R - r = 99 - 22 = 77$. По теореме Пифагора:
$O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2 = 121^2 - 77^2 = (121 - 77)(121 + 77) = 44 \cdot 198 = 44 \cdot 2 \cdot 99 = 88 \cdot 99 = 8 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11 = 11^2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 = 11^2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 4 = (11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2)^2 = 132^2$.
Следовательно, $AC = 132$. Аналогично $BD = 132$.

4) Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как $AC = BD$ и она симметрична относительно линии центров $O_1O_2$. Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $O_1O_2$, так как хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно этой линии. Значит, расстояние между $AB$ и $CD$ — это длина отрезка линии центров, заключённого между этими хордами.

5) Пусть линия центров пересекает $AB$ в точке $M$, а $CD$ в точке $N$. Нам нужно найти длину $MN$. Рассмотрим треугольник $O_1AC$. В прямоугольной трапеции $O_1ACO_2$ отрезок $AM$ — это высота из вершины $A$ на основание $O_1O_2$.
В треугольнике $O_1HO_2$ синус угла $\alpha = \angle O_1O_2H$ равен $\sin \alpha = \frac{O_1H}{O_1O_2} = \frac{132}{121} = \frac{12}{11}$ (это невозможно, так как синус не больше 1, пересчитаем через косинус).
$\cos \alpha = \frac{O_2H}{O_1O_2} = \frac{77}{121} = \frac{7}{11}$.
Угол $\angle AO_1M$ равен углу $\alpha$, так как $O_1A \parallel O_2C$. Тогда в прямоугольном треугольнике $O_1MA$:
$O_1M = O_1A \cdot \cos \alpha = 22 \cdot \frac{7}{11} = 14$.

6) Аналогично в прямоугольном треугольнике $O_2NC$:
$O_2N = O_2C \cdot \cos \alpha = 99 \cdot \frac{7}{11} = 63$.

7) Расстояние $MN = O_1O_2 - O_1M - O_2N = 121 - 14 - 63 = 121 - 77 = 44$.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ