Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

2. Упростим выражение функции. Вынесем общий множитель $0,25x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{0,25x(x + 2) \cdot |x|}{x + 2}$.
При условии $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:
$y = 0,25x \cdot |x|$.

3. Раскроем модуль по определению:
— Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вверх.
— Если $x < 0$ (и $x \neq -2$), то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -0,25x^2$. Это ветвь параболы, направленная вниз.

4. Найдём координаты «выколотой» точки. Так как $x \neq -2$, подставим это значение в упрощённое выражение для отрицательных $x$:
$y(-2) = -0,25 \cdot (-2)^2 = -0,25 \cdot 4 = -1$.
Значит, точка с координатами $(-2; -1)$ будет отсутствовать на графике.

5. Построим график. Он состоит из двух частей:
— Справа от оси $Oy$ ($x \geq 0$) — часть параболы $y = 0,25x^2$. Проходит через точки $(0; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 4)$.
— Слева от оси $Oy$ ($x < 0$) — часть параболы $y = -0,25x^2$ с пустой точкой $(-2; -1)$. Проходит через точки $(-4; -4)$.

6. Определим значения $m$, при которых прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная линия. Она не будет иметь общих точек с графиком только в одном случае: если она проходит через «выколотую» точку $(-2; -1)$.
Следовательно, это происходит при $m = -1$.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ