Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения задачи сначала построим график функции $y = |x^{2} - x - 2|$, а затем определим количество точек пересечения с горизонтальными прямыми.

1. Построение графика функции.
Сначала рассмотрим вспомогательную функцию (параболу) $y = x^{2} - x - 2$.
— Найдем координаты вершины параболы по формулам:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$;
$y_{0} = (0,5)^{2} - 0,5 - 2 = 0,25 - 0,5 - 2 = -2,25$.
Вершина находится в точке $(0,5; -2,25)$.
— Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (корни уравнения $x^{2} - x - 2 = 0$):
По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $x_{1} = -1$ и $x_{2} = 2$. Точки: $(-1; 0)$ и $(2; 0)$.
— График искомой функции $y = |x^{2} - x - 2|$ получается из параболы путем зеркального отражения её отрицательной части (той, что ниже оси $Ox$) вверх. Таким образом, вершина параболы $(0,5; -2,25)$ перейдет в точку $(0,5; 2,25)$, а ветви, направленные вверх, останутся без изменений.

2. Исследование количества общих точек.
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
Проанализируем количество пересечений прямой $y = c$ с нашим графиком при различных значениях $c$:
— Если $c < 0$, общих точек нет (прямая ниже графика).
— Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$ и имеет 2 общие точки (корни $-1$ и $2$).
— Если $0 < c < 2,25$, прямая пересекает график в 4 точках (две точки на внешних ветвях и две точки на отраженной части параболы).
— Если $c = 2,25$, прямая проходит через вершину отраженной части и имеет 3 общие точки.
— Если $c > 2,25$, прямая пересекает только внешние ветви параболы, то есть имеет 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ