Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Раскроем модуль в формуле $y = x|x| - |x| - 6x$, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$: $|x| = x$, поэтому
$y = x\cdot x - x - 6x = x^2 - 7x$.
Это часть параболы ветвями вверх с вершиной $x_0 = \frac{7}{2} = 3,5$, $y_0 = 3,5^2 - 7\cdot 3,5 = -12,25$. Нули: $x = 0$ и $x = 7$. Берём её при $x \ge 0$.

2. При $x < 0$: $|x| = -x$, поэтому
$y = x\cdot(-x) - (-x) - 6x = -x^2 + x - 6x = -x^2 - 5x$.
Это часть параболы ветвями вниз с вершиной $x_0 = -2,5$, $y_0 = -(-2,5)^2 - 5\cdot(-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25$. Нули: $x = 0$ и $x = -5$. Берём её при $x < 0$.

Важно: левая парабола направлена ветвями вниз, поэтому при $x \to -\infty$ её значения уходят в $-\infty$ (например, при $x = -6$: $y = -36 + 30 = -6$). Наибольшее значение $6,25$ достигается в вершине $(-2,5;\,6,25)$. В точке $x = 0$ обе части дают $y = 0$, график непрерывен.

Число общих точек с прямой $y = m$. Посчитаем число решений на каждой ветви.

Правая ветвь ($x \ge 0$, парабола вверх, минимум $-12,25$):
— $m < -12,25$: 0 точек;
— $m = -12,25$: 1 точка (вершина $(3,5;\,-12,25)$);
— $-12,25 < m \le 0$: 2 точки;
— $m > 0$: 1 точка (второй корень отрицателен и не подходит).

Левая ветвь ($x < 0$, парабола вниз, максимум $6,25$):
— $m \le 0$: 1 точка (второй корень неотрицателен и не подходит);
— $0 < m < 6,25$: 2 точки;
— $m = 6,25$: 1 точка (вершина $(-2,5;\,6,25)$);
— $m > 6,25$: 0 точек.

Складываем число точек:
— $m < -12,25$: $0+1 = 1$;
— $m = -12,25$: $1+1 = 2$;
— $-12,25 < m < 0$: $2+1 = 3$;
— $m = 0$: $2+1 = 3$;
— $0 < m < 6,25$: $1+2 = 3$;
— $m = 6,25$: $1+1 = 2$;
— $m > 6,25$: $1+0 = 1$.

Ровно две общие точки получаются только при $m = -12,25$ и при $m = 6,25$.

Ответ: $m = -12,25$; $m = 6,25$.