Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. По условию $AM = MB = 24 : 2 = 12$. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Тогда $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

2) По свойству средней линии $MK \parallel AD$. Рассмотрим углы при параллельных прямых $MK$ и $AD$ и секущей $DK$. Угол $MDK$ равен углу $KDA$, так как $DK$ — биссектриса угла $ADC$. Угол $KDA$ равен углу $MKD$ как накрест лежащие при $MK \parallel AD$ и секущей $DK$. Следовательно, $\angle MDK = \angle MKD$.

3) В треугольнике $MKD$ два угла равны, значит, он равнобедренный с основанием $DK$. Следовательно, $MK = MD$. Так как $MK$ — средняя линия, точка $K$ является серединой $CD$, то есть $CK = KD = 25 : 2 = 12,5$. Таким образом, $MK = 12,5$.

4) По формуле средней линии трапеции $MK = \frac{BC + AD}{2}$. Подставим известные значения: $12,5 = \frac{9 + AD}{2}$. Отсюда $25 = 9 + AD$, значит, нижнее основание $AD = 16$.

5) Для нахождения площади трапеции нужно найти её высоту. Проведём высоты $BH$ и $CE$ из вершин верхнего основания на нижнее. Пусть $AH = x$, тогда $ED = AD - BC - x = 16 - 9 - x = 7 - x$.
Из прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCE$ по теореме Пифагора выразим квадрат высоты $h$:
$h^2 = AB^2 - AH^2 = 24^2 - x^2$
$h^2 = CD^2 - ED^2 = 25^2 - (7 - x)^2$

6) Приравняем выражения: $576 - x^2 = 625 - (49 - 14x + x^2)$.
Раскроем скобки: $576 - x^2 = 625 - 49 + 14x - x^2$.
$576 = 576 + 14x$, откуда $14x = 0$, то есть $x = 0$.
Это означает, что точка $H$ совпадает с точкой $A$, и сторона $AB$ перпендикулярна основанию $AD$. Тогда высота трапеции $h = AB = 24$.

7) Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$:
$S = \frac{9 + 16}{2} \cdot 24 = 12,5 \cdot 24 = 300$.

Ответ: 300

Источник: ФИПИ